Gramática pregrupo

La gramática pregrupal (PG) es un formalismo gramatical íntimamente relacionado con las gramáticas categoriales . Al igual que la gramática categorial (CG), PG es un tipo de gramática lógica de tipo. Sin embargo, a diferencia de CG, PG no tiene un tipo de función distinguido. Más bien, PG utiliza tipos inversos combinados con su operación monoidal.

Definición de pregrupo

Un pregrupo es un álgebra parcialmente ordenada tal que es un monoide que satisface las siguientes relaciones: ${\displaystyle (A,1,\cdot ,-^{l},-^{r},\leq )}$ ${\displaystyle (A,1,\cdot )}$

• ${\displaystyle x^{l}\cdot x\leq 1\qquad x\cdot x^{r}\leq 1}$     (contracción)
• ${\displaystyle 1\leq x\cdot x^{l}\qquad 1\leq x^{r}\cdot x}$     (expansión)

Las relaciones de contracción y expansión a veces se denominan leyes de Ajdukiewicz .

De esto se puede demostrar que se cumplen las siguientes ecuaciones:

• ${\displaystyle 1^{l}=1=1^{r}}$
• ${\displaystyle x^{lr}=x=x^{rl}}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)^{l}=y^{l}\cdot x^{l}\qquad (x\cdot y)^{r}=y^{r}\cdot x^{r}}$

${\displaystyle x^{l}}$y se llaman adjuntos izquierdo y derecho de x , respectivamente. ${\displaystyle x^{r}}$

Los símbolos y también se escriben y respectivamente. En teoría de categorías , los pregrupos también se conocen como categorías autónomas ^{[1] o} categorías cerradas compactas (no simétricas) . ^[2] Más típicamente, simplemente se representará mediante adyacencia, es decir, como . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle xy}$

Definición de gramática pregrupal

Una gramática de pregrupo consta de un léxico de palabras (y posiblemente morfemas ) L , un conjunto de tipos atómicos T que genera libremente un pregrupo y una relación que relaciona palabras con tipos. En gramáticas simples de pregrupo, escribir es una función que asigna palabras a un solo tipo cada una. ${\displaystyle :}$

Ejemplos

Algunos ejemplos simples e intuitivos que utilizan el inglés como idioma para modelar demuestran los principios básicos detrás de los pregrupos y su uso en dominios lingüísticos.

Sea L = { John, Mary, el, perro, gato, se encontró, ladró, a }, sea T = { N, S, N ₀ }, y deje que se cumpla la siguiente relación de escritura:

${\displaystyle {\textit {John}}:N\qquad {\textit {Mary}}:N\qquad {\textit {the}}:N\cdot N_{0}^{l}\qquad {\textit {dog}}:N_{0}\qquad {\textit {cat}}:N_{0}}$

${\displaystyle {\textit {met}}:N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\qquad {\textit {barked}}:N^{r}\cdot S\qquad {\textit {at}}:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}}$

Una oración S que tiene tipo T se dice gramatical si . Podemos probar esto mediante el uso de una cadena de . Por ejemplo, podemos demostrar que es gramatical demostrando que : ${\displaystyle T\leq S}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N}$ ${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N\leq S}$

${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S}$

usando primero la contracción y luego nuevamente . Sin embargo, existe una notación más conveniente que indica las contracciones conectándolas con un vínculo dibujado entre los tipos de contratación (siempre que los vínculos estén anidados, es decir, no se crucen). Las palabras también suelen colocarse encima de sus tipos para que la prueba sea más intuitiva. La misma prueba en esta notación es simplemente ${\displaystyle N\cdot N^{r}}$ ${\displaystyle N^{l}\cdot N}$

Un ejemplo más complejo demuestra que el perro ladró al gato es gramatical:

Notas historicas

Las gramáticas pregrupales fueron introducidas por Joachim Lambek en 1993 como un desarrollo de su cálculo sintáctico , reemplazando los cocientes por adjuntos. ^[3] Harris ya había utilizado anteriormente dichos adjuntos, pero sin adjuntos iterados ni reglas de expansión. Agregar tales adjuntos fue interesante para manejar casos lingüísticos más complejos, donde es necesario. También estuvo motivado por un punto de vista más algebraico: la definición de pregrupo es un debilitamiento de la de grupo , introduciendo una distinción entre las inversas izquierda y derecha y reemplazando la igualdad por un orden. Este debilitamiento era necesario porque usar tipos de un grupo libre no funcionaría: un adjetivo obtendría el tipo , por lo que podría insertarse en cualquier posición de la oración. ^[4] ${\displaystyle a^{ll}\neq a}$ ${\displaystyle N\cdot N^{-1}=1}$

Luego se han definido y estudiado gramáticas pregrupales para varios idiomas (o fragmentos de ellos), incluidos inglés , ^[5] italiano , ^[6] francés , ^[7] persa ^[8] y sánscrito . ^[9] Los idiomas con un orden de palabras relativamente libre, como el sánscrito, requerían introducir relaciones de conmutación en el pregrupo, utilizando la preciclicidad.

Semántica de gramáticas pregrupales.

Debido a la falta de tipos de funciones en PG, el método habitual de dar una semántica mediante el cálculo λ o mediante denotaciones de funciones no está disponible de ninguna manera obvia. En cambio, existen dos métodos diferentes, un método puramente formal que corresponde al cálculo λ y un método denotacional análogo a (un fragmento de) la matemática tensorial de la mecánica cuántica .

Semántica puramente formal

La semántica puramente formal de PG consiste en un lenguaje lógico definido según las siguientes reglas:

• Dado un conjunto de términos atómicos T = { a , b , ...} y símbolos de funciones atómicas F = { f _m , g _n , ...} (donde los subíndices son metanotacionales que indican aridad), y variables x , y , ..., todas las constantes, variables y aplicaciones de funciones bien formadas son términos básicos (una aplicación de función está bien formada cuando el símbolo de función se aplica al número apropiado de argumentos, que se pueden extraer de los términos atómicos, variables , o pueden ser otros términos básicos)
• Cualquier término básico es un término.
• Dada cualquier variable x , [ x ] es un término
• Dados cualesquiera términos m y n , es un término ${\displaystyle m\cdot n}$

Algunos ejemplos de términos son f ( x ), g ( a , h ( x , y )) ,. Una variable x es libre en un término t si [ x ] no aparece en t , y un término sin variables libres es un término cerrado. Los términos se pueden escribir con tipos de pregrupo de la manera obvia. ${\displaystyle g(x,b)\cdot [x]}$

Se aplican las convenciones habituales relativas a la conversión α.

Para un idioma dado, asignamos una tarea I que asigna palabras escritas a términos cerrados escritos de una manera que respeta la estructura previa al grupo de los tipos. Por lo tanto, para el fragmento en inglés dado anteriormente podríamos tener la siguiente asignación (con el conjunto obvio e implícito de términos atómicos y símbolos de función):

${\displaystyle {\begin{aligned}I({\textit {John}}:N)&=j:E\\I({\textit {Mary}}:N)&=m:E\\I(the:N\cdot N_{0}^{l})&=\iota (p)\cdot [p]:E\cdot E_{0}^{l}\\I(dog:N_{0})&=dog:E_{0}\\I(cat:N_{0})&=cat:E_{0}\\I(met:N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot met(x,y)\cdot [y]:E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\\I(barked:N^{r}\cdot S)&=[x]\cdot barked(x):E^{r}\cdot T\\I(at:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot y\cdot [y]\cdot at(x,z)\cdot [z]:T^{r}\cdot E^{rr}\cdot E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\end{aligned}}}$

donde E es el tipo de entidades en el dominio y T es el tipo de valores de verdad.

Junto con esta definición central de la semántica de PG, también tenemos reglas de reducción que se emplean en paralelo con las reducciones de tipos. Colocando los tipos sintácticos en la parte superior y la semántica debajo, tenemos

Por ejemplo, aplicar esto a los tipos y la semántica de la oración (enfatizando el vínculo que se está reduciendo) ${\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot (N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot N}$

Para la frase : ${\displaystyle {\textit {the}}\ {\textit {dog}}\ {\textit {barked}}\ {\textit {at}}\ {\textit {the}}\ {\textit {cat}}:(N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}\cdot (N^{r}\cdot S)\cdot (S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot (N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}}$

Ver también

• Categoría cerrada compacta
• cálculo de lambek

Referencias

• Lambek, Joaquín (2008). "Gramáticas pregrupales y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Revista de Lógica, Lenguaje e Información . 17 (2): 141–160. doi :10.1007/s10849-007-9053-2. S2CID  30256603.
• Preller, Anna (2007). "Las gramáticas semánticas pregrupales manejan dependencias a larga distancia en francés" (PDF) . Manuscrito .
• Claudia Casadio (2004), Gramática pregrupal. Teoría y aplicaciones

1. Selinger, Peter (2011). "Un estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales". Nuevas estructuras para la física . Apuntes de conferencias de física. vol. 813. Saltador. págs. 289-233. arXiv : 0908.3347 . Código Bib : 2009arXiv0908.3347S.
2. Preller, Ana; Mehrnoosh Sadrzadeh (2011). "Modelos de vectores semánticos y modelos funcionales para gramáticas pregrupales" (PDF) . Revista de Lógica, Lenguaje e Información . 20 (4): 419–443. doi :10.1007/s10849-011-9132-2. S2CID  207175357.
3. Lambek, Joaquín (1999). "Gramática tipográfica revisada". En Alain Lecomte (ed.). Aspectos lógicos de la lingüística computacional . LNAI. vol. 1582. Heidelberg: Springer. págs. 1–27.
4. Lambek, Joaquín (2008). "Gramáticas previas al grupo y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Revista de Lógica, Lenguaje e Información . 17 (2): 141–160. doi :10.1007/s10849-007-9053-2. S2CID  30256603.
5. Lambek 2008
6. Casadio, Claudia; Joaquín Lambek (2001). "Un análisis algebraico de pronombres clíticos en italiano". Aspectos lógicos de la lingüística computacional . Saltador. págs. 110-124. ISBN 3540422730.
7. Preller, Ana; Príncipe Violaine; et al. (2008). "Gramáticas pregrupales con análisis lineal de la frase verbal francesa" (PDF) . CL2008 : 53–84.
8. Sadrzadeh, Mehrnoosh (2008). "Análisis pregrupal de oraciones persas". Enfoques algebraicos computacionales del lenguaje natural, Polimetrica, Milán, Italia : 121–144. CiteSeerX 10.1.1.163.5505 . 
9. Casadio, Claudia; Mehrnoosh Sadrzadeh (2014). "Alternancia del orden de las palabras en sánscrito mediante preciclicidad en gramáticas pregrupales". En Franck van Breugel; Elham Kashefi ; Catuscia Palamidessi ; Jan Rutten (eds.). Horizontes de la mente. Un tributo a Prakash Panangaden . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 8464. Publicación internacional Springer. págs. 229–249. ISBN 978-3-319-06879-4.