Producto destrozado

En topología , una rama de las matemáticas , el producto aplastante de dos espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos) ( X, x ₀ ) y ( Y , y ₀ ) es el cociente del espacio producto X × Y bajo las identificaciones ( x , y ₀ ) ~ ( x ₀ , y ) para todo x en X e y en Y . El producto aplastante es en sí mismo un espacio puntiagudo, siendo el punto base la clase de equivalencia de ( x ₀ , y ₀ ). El producto aplastante generalmente se denota X ∧ Y o X ⨳ Y . El producto aplastante depende de la elección de los puntos base (a menos que tanto X como Y sean homogéneos ).

Se puede pensar que X e Y se encuentran dentro de X × Y como los subespacios X × { y ₀ } y { x ₀ } × Y . Estos subespacios se intersecan en un único punto: ( x ₀ , y ₀ ), el punto base de X × Y . Por lo tanto, la unión de estos subespacios se puede identificar con la suma de cuña . En particular, { x ₀ } × Y en X × Y se identifica con Y en , lo mismo para X × { y ₀ } y X . En , los subespacios X e Y se intersecan en el único punto . El producto de aplastamiento es entonces el cociente ${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}}$

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

El producto de aplastamiento aparece en la teoría de homotopía , una rama de la topología algebraica . En la teoría de homotopía, a menudo se trabaja con una categoría de espacios diferente a la categoría de todos los espacios topológicos . En algunas de estas categorías, la definición del producto de aplastamiento debe modificarse ligeramente. Por ejemplo, el producto de aplastamiento de dos complejos CW es un complejo CW si se utiliza el producto de complejos CW en la definición en lugar de la topología del producto . Se necesitan modificaciones similares en otras categorías.

Ejemplos

Una visualización de como el cociente . ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}}$ ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})/(S^{1}\vee S^{1})}$

• El producto de ruptura de cualquier espacio puntiagudo X con una 0-esfera (un espacio discreto con dos puntos) es homeomorfo a X.
• El producto de ruptura de dos círculos es un cociente del toro homeomorfo a la 2-esfera.
• De manera más general, el producto de choque de dos esferas S ^m y S ⁿ es homeomorfo a la esfera S ^{m + n} .
• El producto de ruptura de un espacio X con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de X : $${\displaystyle \Sigma X\cong X\wedge S^{1}.}$$
• La suspensión reducida iterada k -fold de X es homeomorfa al producto de aplastamiento de X y una k -esfera $${\displaystyle \Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.}$$
• En teoría de dominios , tomar el producto de dos dominios (de modo que el producto sea estricto en sus argumentos).

Como un producto monoidal simétrico

Para cualquier espacio puntiagudo X , Y y Z en una categoría "conveniente" apropiada (por ejemplo, la de espacios generados de forma compacta ), existen homeomorfismos naturales (que preservan el punto base).

${\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{aligned}}}$

Sin embargo, para la categoría ingenua de espacios puntiagudos, esto falla, como lo demuestra el contraejemplo encontrado por Dieter Puppe . ^[1] Una prueba debida a Kathleen Lewis de que el contraejemplo de Puppe es de hecho un contraejemplo se puede encontrar en el libro de Johann Sigurdsson y J. Peter May . ^[2] ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle Z=\mathbb {N} }$

Estos isomorfismos convierten la categoría apropiada de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con el producto de aplastamiento como producto monoidal y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como objeto unitario. Por lo tanto, se puede pensar en el producto de aplastamiento como una especie de producto tensorial en una categoría apropiada de espacios puntiagudos.

Relación adjunta

Los funtores adjuntos hacen que la analogía entre el producto tensorial y el producto de aplastamiento sea más precisa. En la categoría de R -módulos sobre un anillo conmutativo R , el funtor tensorial es adjunto por la izquierda al funtor interno Hom , de modo que ${\displaystyle (-\otimes _{R}A)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).}$

En la categoría de espacios puntiagudos , el producto de aplastamiento juega el papel del producto tensorial en esta fórmula: si son Hausdorff compactos entonces tenemos una adjunción ${\displaystyle A,X}$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))}$

donde denota mapas continuos que envían un punto base a otro y lleva la topología compacta-abierta . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Maps_{*}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (A,Y)}$

En particular, tomando como círculo unitario , vemos que el funtor de suspensión reducido es adjunto por la izquierda al funtor del espacio de bucles : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).}$

Notas

1. Marioneta, Dieter (1958). "Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I.". Mathematische Zeitschrift . 69 : 299–344. doi :10.1007/BF01187411. SEÑOR  0100265. S2CID  121402726.(pág. 336)
2. May, J. Peter ; Sigurdsson, Johann (2006). Teoría de la homotopía parametrizada . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 132. Providence, RI: American Mathematical Society . Sección 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5.Señor 2271789  .
3. "Topología algebraica", Maunder, Teorema 6.2.38c

Referencias

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.