Categoría monoidal trenzada

Objeto en la teoría de categorías.

En matemáticas , una restricción de conmutatividad en una categoría monoidal es una elección de isomorfismo para cada par de objetos A y B que forman una "familia natural". En particular, para tener una restricción de conmutatividad, se debe tener para todos los pares de objetos . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$ ${\displaystyle A\otimes B\cong B\otimes A}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

Una categoría monoidal trenzada es una categoría monoidal equipada con un trenzado , es decir, una restricción de conmutatividad que satisface axiomas que incluyen las identidades hexagonales definidas a continuación. El término trenzado hace referencia al hecho de que el grupo trenzado juega un papel importante en la teoría de las categorías monoidales trenzadas. En parte por esta razón, las categorías monoidales trenzadas y otros temas están relacionados en la teoría de invariantes de nudos . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$

Alternativamente, una categoría monoidal trenzada puede verse como una triccategoría con una celda 0 y una celda 1.

André Joyal y Ross Street introdujeron las categorías monoidales trenzadas en una preimpresión de 1986. ^[1] En 1993 se publicó una versión modificada de este artículo. ^[2]

Las identidades hexagonales

Para que, junto con la restricción de conmutatividad, se denomine categoría monoidal trenzada, los siguientes diagramas hexagonales deben conmutar para todos los objetos . Aquí está el isomorfismo de asociatividad proveniente de la estructura monoidal en : ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Propiedades

Coherencia

Se puede demostrar que el isomorfismo natural junto con los mapas provenientes de la estructura monoidal en la categoría , satisfacen varias condiciones de coherencia , que establecen que varias composiciones de mapas de estructuras son iguales. En particular: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• El trenzado conmuta con las unidades. Es decir, el siguiente diagrama conmuta:

• La acción del producto tensor de pliegue se factoriza a través del grupo trenzado . En particular, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

como mapas . Aquí hemos omitido los mapas asociados. ${\displaystyle A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A}$

Variaciones

Existen varias variantes de categorías monoidales trenzadas que se utilizan en diversos contextos. Véase, por ejemplo, el artículo expositivo de Savage (2009) para una explicación de las categorías monoidales simétricas y colímites, y el libro de Chari y Pressley (1995) para las categorías de cinta.

Categorías monoidales simétricas

Una categoría monoidal trenzada se llama simétrica si también satisface para todos los pares de objetos y . En este caso, la acción de un producto tensorial multiplicado se factoriza a través del grupo simétrico . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle N}$

Categorías de cinta

Una categoría monoidal trenzada es una categoría de cinta si es rígida y puede conservar la traza cuántica y la traza cocuántica. Las categorías de cinta son particularmente útiles para construir invariantes de nudos .

Categorías monoidales colímites

Una categoría monoidal colímite o “cactus” es una categoría monoidal junto con una familia de isomorfismos naturales con las siguientes propiedades: ${\displaystyle (C,\otimes ,{\text{Id}})}$ ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$para todos los pares de objetos y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})}$

La primera propiedad nos muestra eso , lo que nos permite omitir el análogo del segundo diagrama definitorio de una categoría monoide trenzada e ignorar los mapas de asociadores como está implícito. ${\displaystyle \gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}}$

Ejemplos

• La categoría de representaciones de un grupo (o un álgebra de Lie ) es una categoría monoidal simétrica donde . ${\displaystyle \gamma (v\otimes w)=w\otimes v}$
• La categoría de representaciones de un álgebra envolvente universal cuantificada es una categoría monoide trenzada, donde se construye utilizando la matriz R universal . De hecho, este ejemplo también es una categoría de cinta. ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \gamma }$

Aplicaciones

• Invariantes de nudos .
• Las categorías monoidales cerradas simétricas se utilizan en modelos denotacionales de lógica lineal y tipos lineales .
• Descripción y clasificación de sistemas cuánticos ordenados topológicos.

Referencias

1. André Joyal; Ross Street (noviembre de 1986), "Categorías monoidales trenzadas" (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
2. André Joyal; Ross Street (1993), "Categorías de tensores trenzados", Avances en Matemáticas , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055

• Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrés. "Una guía para los grupos cuánticos". Prensa de la Universidad de Cambridge. 1995.
• Salvaje, Alistair. Categorías monoidales trenzadas y colímites. Álgebras, representaciones y aplicaciones, 229–251, Contemp. Matemáticas., 483, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2009. Disponible en arXiv

enlaces externos

• Categoría monoidal trenzada en el n Lab
• John Baez (1999), Introducción a las categorías monoidales trenzadas, Hallazgos de esta semana en física matemática 137.