grupo multiplicativo

En matemáticas y teoría de grupos , el término grupo multiplicativo hace referencia a uno de los siguientes conceptos:

• el grupo bajo multiplicación de los elementos invertibles de un campo , ^[1] anillo u otra estructura para la cual una de sus operaciones se denomina multiplicación. En el caso de un campo F , el grupo es ( F ∖ {0}, •) , donde 0 se refiere al elemento cero de F y la operación binaria • es la multiplicación del campo ,
• el toro algebraico GL(1). ^{[ se necesita aclaración ]} .

Ejemplos

• El grupo multiplicativo de números enteros módulo n es el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de . Cuando n no es primo, hay elementos distintos de cero que no son invertibles. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• El grupo multiplicativo de números reales positivos es un grupo abeliano con 1 como elemento de identidad . El logaritmo es un isomorfismo de grupo de este grupo al grupo aditivo de números reales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El grupo multiplicativo de un campo es el conjunto de todos los elementos distintos de cero: , bajo la operación de multiplicación. Si es finito de orden q (por ejemplo q = p primo, y ), entonces el grupo multiplicativo es cíclico: . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\times }=F-\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F^{\times }\cong C_{q-1}}$

Esquema grupal de raíces de unidad.

El esquema de grupo de n -ésimas raíces de la unidad es, por definición, el núcleo del mapa de n -potencias en el grupo multiplicativo GL(1), considerado como un esquema de grupo . Es decir, para cualquier número entero n > 1 podemos considerar el morfismo en el grupo multiplicativo que toma n -ésimas potencias, y tomar un producto de fibra apropiado de esquemas , con el morfismo e que sirve como identidad.

El esquema de grupo resultante se escribe μ _n (o ^[2] ). Da lugar a un esquema reducido , cuando lo tomamos sobre un campo K , si y sólo si la característica de K no divide a n . Esto lo convierte en una fuente de algunos ejemplos clave de esquemas no reducidos (esquemas con elementos nilpotentes en sus haces estructurales ); por ejemplo μ _p sobre un campo finito con p elementos para cualquier número primo p . ${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$

Este fenómeno no se expresa fácilmente en el lenguaje clásico de la geometría algebraica. Por ejemplo, resulta de gran importancia para expresar la teoría de la dualidad de las variedades abelianas en la característica p (teoría de Pierre Cartier ). La cohomología de Galois de este esquema de grupo es una forma de expresar la teoría de Kummer .

Ver también

• Grupo multiplicativo de números enteros módulo n
• Grupo aditivo

Notas

1. Véase Hazewinkel et al. (2004), pág. 2.
2. Milne, James S. (1980). Étale cohomología . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. xiii, 66.

Referencias

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Volumen 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0