En matemáticas , una representación es una relación muy general que expresa similitudes (o equivalencias) entre objetos o estructuras matemáticos . En términos generales, se puede decir que una colección Y de objetos matemáticos representa otra colección X de objetos, siempre que las propiedades y relaciones existentes entre los objetos que representan y i se ajusten, de alguna manera consistente, a las existentes entre los objetos representados correspondientes x i . Más específicamente, dado un conjunto Π de propiedades y relaciones , una Π -representación de alguna estructura X es una estructura Y que es la imagen de X bajo un homomorfismo que preserva Π . La etiqueta representación a veces también se aplica al homomorfismo en sí (como el homomorfismo de grupo en la teoría de grupos ). [1] [2]
Quizás el ejemplo mejor desarrollado de esta noción general es el subcampo del álgebra abstracta llamado teoría de la representación , que estudia la representación de elementos de estructuras algebraicas mediante transformaciones lineales de espacios vectoriales . [2]
Aunque el término teoría de la representación está bien establecido en el sentido algebraico discutido anteriormente, existen muchos otros usos del término representación en las matemáticas.
Un área activa de la teoría de grafos es la exploración de isomorfismos entre grafos y otras estructuras. Una clase clave de tales problemas surge del hecho de que, al igual que la adyacencia en grafos no dirigidos , la intersección de conjuntos (o, más precisamente, la no disyunción ) es una relación simétrica . Esto da lugar al estudio de grafos de intersección para innumerables familias de conjuntos. [3] Un resultado fundamental aquí, debido a Paul Erdős y sus colegas, es que cada grafo de n vértices puede representarse en términos de intersección entre subconjuntos de un conjunto de tamaño no mayor que n 2 /4. [4]
La representación de un gráfico mediante estructuras algebraicas como su matriz de adyacencia y su matriz laplaciana da lugar al campo de la teoría de gráficos espectrales . [5]
La observación anterior de que cada grafo es un grafo de intersección se debe a que cada conjunto parcialmente ordenado (también conocido como poset) es isomorfo a una colección de conjuntos ordenados por la relación de inclusión (o contención) ⊆. Algunos posets que surgen como órdenes de inclusión para clases naturales de objetos incluyen las redes booleanas y los órdenes de dimensión n . [6]
Muchos órdenes parciales surgen de (y por lo tanto pueden ser representados por) colecciones de objetos geométricos . Entre ellos están los órdenes de n -bolas . Los órdenes de 1-bola son los órdenes de contención de intervalos, y los órdenes de 2-bolas son los llamados órdenes de círculo —los conjuntos parciales representables en términos de contención entre discos en el plano. Un resultado particularmente interesante en este campo es la caracterización de los grafos planares , como aquellos grafos cuyas relaciones de incidencia vértice-arista son órdenes de círculo. [7]
También existen representaciones geométricas que no se basan en la inclusión. De hecho, una de las clases mejor estudiadas entre ellas son los órdenes de intervalo [8] , que representan el orden parcial en términos de lo que podría llamarse precedencia disjunta de intervalos en la línea real : cada elemento x del conjunto parcial está representado por un intervalo [ x 1 , x 2 ], tal que para cualquier y y z en el conjunto parcial, y está por debajo de z si y solo si y 2 < z 1 .
En lógica , la representabilidad de las álgebras como estructuras relacionales se utiliza a menudo para demostrar la equivalencia de la semántica algebraica y relacional . Algunos ejemplos de esto incluyen la representación de Stone de las álgebras de Boole como cuerpos de conjuntos , [9] la representación de Esakia de las álgebras de Heyting como álgebras de Heyting de conjuntos, [10] y el estudio de las álgebras relacionales representables y las álgebras cilíndricas representables . [11]
En determinadas circunstancias, una única función f : X → Y es a la vez un isomorfismo de varias estructuras matemáticas sobre X . Puesto que cada una de esas estructuras puede considerarse, intuitivamente, como un significado de la imagen Y (una de las cosas que Y está tratando de decirnos), este fenómeno se denomina polisemia , un término tomado de la lingüística . Algunos ejemplos de polisemia incluyen: