Teorema de representación

En matemáticas , un teorema de representación es un teorema que establece que toda estructura abstracta con ciertas propiedades es isomorfa a otra estructura (abstracta o concreta).

Ejemplos

Álgebra

El teorema de Cayley establece que todo grupo es isomorfo a un grupo de permutación . ^[1]
La teoría de la representación estudia las propiedades de los grupos abstractos a través de sus representaciones como transformaciones lineales de espacios vectoriales .
El teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole establece que toda álgebra de Boole es isomorfa a un campo de conjuntos . ^[2]
Una variante, el teorema de representación de Stone para redes distributivas , establece que cada red distributiva es isomorfa a una subred de la red de conjuntos potencia de algún conjunto.
Otra variante, la dualidad de Stone , establece que existe una dualidad (en el sentido de una equivalencia de inversión de flechas) entre las categorías de las álgebras de Boole y las de los espacios de Stone .
El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt establece que cada álgebra de Lie se integra en el álgebra de Lie del conmutador de su álgebra envolvente universal .
El teorema de Ado establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero se integra en el álgebra de Lie de endomorfismos de algún espacio vectorial de dimensión finita.
El teorema HSP de Birkhoff establece que cada modelo de un álgebra A es la imagen homomórfica de un subálgebra de un producto directo de copias de A. ^[3 ]
En el estudio de semigrupos , el teorema de Wagner-Preston proporciona una representación de un semigrupo inverso S , como una imagen homomórfica del conjunto de biyecciones parciales en S , y la operación de semigrupo dada por la composición .

Teoría de categorías

El lema de Yoneda proporciona una incrustación completa y fiel que preserva los límites de cualquier categoría en una categoría de prehaces .
El teorema de incrustación de Mitchell para categorías abelianas considera cada categoría abeliana pequeña como una subcategoría completa (y exactamente incrustada) de una categoría de módulos sobre algún anillo . ^[4]
El teorema de colapso de Mostowski establece que toda estructura extensional bien fundada es isomorfa a un conjunto transitivo con la relación ∈.
Uno de los teoremas fundamentales en la teoría de haces establece que cada haz sobre un espacio topológico puede considerarse como un haz de secciones de algún fibrado (étalé) sobre ese espacio: las categorías de los haces en un espacio topológico y las de los espacios étalé sobre él son equivalentes, donde la equivalencia está dada por el funtor que envía un fibrado a su haz de secciones (locales).

Análisis funcional

La construcción Gelfand–Naimark–Segal incorpora cualquier C*-álgebra en un álgebra de operadores acotados en algún espacio de Hilbert .
La representación de Gelfand (también conocida como teorema de Gelfand–Naimark conmutativo) establece que cualquier C*-álgebra conmutativa es isomorfa a un álgebra de funciones continuas en su espectro de Gelfand . También puede verse como la construcción de una dualidad entre la categoría de C*-álgebras conmutativas y la de espacios de Hausdorff compactos .
El teorema de representación de Riesz establece que en un espacio de Hilbert , como el espacio de funciones integrables al cuadrado L ² ( X ) en una variedad X , cualquier funcional lineal F es igual al producto interno con un elemento fijo , es decir para todo . El teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani más general tiene varias versiones, una de ellas identifica el espacio dual de C ₀ ( X ) con el conjunto de medidas regulares en X . $a\en H$ $F(v)=\langle a,v\rangle$ $v\en H$

Geometría

Los teoremas de incrustación de Whitney incrustan cualquier variedad abstracta en algún espacio euclidiano .
El teorema de incrustación de Nash incrusta una variedad riemanniana abstracta isométricamente en un espacio euclidiano . ^[5]

Ciencias económicas

Un teorema de representación de preferencias establece las condiciones para la existencia de una función de utilidad que represente una relación de preferencia . Algunos ejemplos son el teorema de utilidad de Von Neumann-Morgenstern y los teoremas de representación de Debreu .

Véase también

Teorema de clasificación

Referencias

^ "Teorema de Cayley y su demostración". www.sjsu.edu . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
^ Dirks, Matthew. "El teorema de representación de Stone para álgebras de Boole" (PDF) . math.uchicago.edu . Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
^ Schneider, Friedrich Martin (noviembre de 2017). "Un teorema de Birkhoff uniforme". Algebra Universalis . 78 (3): 337–354. arXiv : 1510.03166 . doi :10.1007/s00012-017-0460-1. ISSN 0002-5240. S2CID 253600065.
^ Teorema de incrustación de Freyd-Mitchell en el n Lab
^ "Notas sobre el teorema de incrustación de Nash". Novedades . 2016-05-11 . Consultado el 2019-12-08 .