teorema de cayley

Representación de grupos por permutaciones.

En teoría de grupos , el teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico . ^[1] Más específicamente, G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico cuyos elementos son las permutaciones del conjunto subyacente de G. Explícitamente, ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

• para cada uno , el mapa de multiplicación por la izquierda que envía cada elemento x a gx es una permutación de G , y ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \ell _{g}\colon G\to G}$
• el mapa al que envía cada elemento g es un homomorfismo inyectivo , por lo que define un isomorfismo de G en un subgrupo de . ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle \ell _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

También se puede entender que el homomorfismo surge de la acción de traducción hacia la izquierda de G en el conjunto subyacente G. ^[2] ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$

Cuando G es finito, también lo es. La prueba del teorema de Cayley en este caso muestra que si G es un grupo finito de orden n , entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico estándar . Pero , para algunos , G también podría ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico más pequeño ; por ejemplo, el grupo de orden 6 no solo es isomorfo a un subgrupo de , sino también (trivialmente) isomorfo a un subgrupo de . ^[3] El problema de encontrar el grupo simétrico de orden mínimo en el que se integra un grupo dado G es bastante difícil. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle G=S_{3}}$ ${\displaystyle S_{6}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén incrustados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos". ^[6]

Cuando G es infinito, es infinito, pero el teorema de Cayley aún se aplica. ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Historia

Si bien parece bastante elemental, en ese momento no existían las definiciones modernas, y cuando Cayley introdujo lo que ahora se llaman grupos , no quedó inmediatamente claro que esto fuera equivalente a los grupos previamente conocidos, que ahora se llaman grupos de permutación . El teorema de Cayley unifica los dos.

Aunque Burnside ^[7] atribuye el teorema a Jordan , ^[8] Eric Nummela ^[9] sostiene que el nombre estándar, "Teorema de Cayley", es de hecho apropiado. Cayley, en su artículo original de 1854, ^[10] demostró que la correspondencia en el teorema es uno a uno, pero no logró demostrar explícitamente que era un homomorfismo (y por tanto una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática en ese momento, adelantándose así a Jordan unos 16 años.

El teorema fue publicado posteriormente por Walther Dyck en 1882 ^[11] y se atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside. ^[12]

Fondo

Una permutación de un conjunto A es una función biyectiva de A a A. El conjunto de todas las permutaciones de A forma un grupo bajo composición de funciones , llamado grupo simétrico en A , y escrito como . ^[13] En particular, tomar A como el conjunto subyacente de un grupo G produce un grupo simétrico denotado . ${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Prueba del teorema

Si g es cualquier elemento de un grupo G con operación ∗, considere la función f _g  : G → G , definida por f _g ( x ) = g ∗ x . Por la existencia de inversas, esta función también tiene una inversa, . Entonces la multiplicación por g actúa como una función biyectiva . Por lo tanto, f _g es una permutación de G y también lo es un miembro de Sym( G ). ${\displaystyle f_{g^{-1}}}$

El conjunto K = { f _g  : g ∈ G } es un subgrupo de Sym( G ) que es isomorfo a G . La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T  : G → Sym( G ) con T ( g ) = f _g para cada g en G . T es un homomorfismo de grupo porque (usando · para denotar composición en Sym( G )):

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

para todo x en G , y por tanto:

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

El homomorfismo T es inyectivo ya que T ( g ) = id _G (el elemento identidad de Sym( G )) implica que g ∗ x = x para todo x en G , y tomando x como el elemento identidad e de G se obtiene g = g ∗ e = e , es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectiva ya que g ∗ x = g ′ ∗ x implica que g = g ′ (porque todo grupo es cancelativo ).

Por tanto, G es isomorfo a la imagen de T , que es el subgrupo K.

A T a veces se le llama la representación regular de G.

Configuración alternativa de prueba

Un entorno alternativo utiliza el lenguaje de las acciones grupales . Consideramos que el grupo actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda, es decir , que tiene una representación de permutación, digamos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot x=gx}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathrm {Sym} (G)}$

La representación es fiel si es inyectiva, es decir, si el núcleo de es trivial. Suponer . Entonces, . Por tanto, es trivial. El resultado se deduce mediante el uso del primer teorema de isomorfismo , del cual obtenemos . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g\in \ker \phi }$ ${\displaystyle g=ge=g\cdot e=e}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\phi \cong G}$

Comentarios sobre la representación regular del grupo.

El elemento de identidad del grupo corresponde a la permutación de identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a trastornos : permutaciones que no dejan ningún elemento sin cambios. Dado que esto también se aplica a potencias de un elemento de grupo, inferiores al orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consta de ciclos todos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman una clase lateral derecha del subgrupo generado por el elemento.

Ejemplos de representación grupal regular

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$con suma módulo 2; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (12) (ver notación de ciclo ). Por ejemplo, 0 +1 = 1 y 1+1 = 0, tal y como lo harían bajo una permutación. ${\textstyle 1\mapsto 0}$ ${\textstyle 0\mapsto 1,}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$con suma módulo 3; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (123) y el elemento de grupo 2 a la permutación (132). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 corresponde a (123)(123) = (132).

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$con suma módulo 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13)(24), (1432).

Los elementos del grupo de cuatro Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12)(34), (13)(24) y (14)(23).

S ₃ ( grupo diédrico de orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutaciones de los 6 elementos del grupo, y este último es como se realiza mediante su representación regular.

Declaración más general

Teorema: Sea G un grupo y H un subgrupo. Sea el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea N el núcleo normal de H en G , definido como la intersección de los conjugados de H en G. Entonces el grupo cociente es isomorfo a un subgrupo de . ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G/H)}$

El caso especial es el teorema original de Cayley. ${\displaystyle H=1}$

Ver también

• El teorema de Wagner-Preston es el análogo de los semigrupos inversos.
• Teorema de representación de Birkhoff , un resultado similar en la teoría del orden
• Teorema de Frucht , todo grupo finito es el grupo de automorfismo de un gráfico
• Lema de Yoneda , una generalización del teorema de Cayley en la teoría de categorías
• Teorema de representación

Notas

1. Jacobson (2009, pág.38)
2. Jacobson (2009, p.72, ej.1)
3. Peter J. Cameron (2008). Introducción al Álgebra, Segunda Edición . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 134.ISBN​ 978-0-19-852793-0.
4. Johnson, DL (1971). "Representaciones de permutación mínima de grupos finitos". Revista Estadounidense de Matemáticas . 93 (4): 857–866. doi :10.2307/2373739. JSTOR  2373739.
5. Grechkoseeva, MA (2003). "Sobre representaciones de permutación mínima de grupos simples clásicos". Revista de Matemáticas de Siberia . 44 (3): 443–462. doi :10.1023/A:1023860730624. S2CID  126892470.
6. JL Alperín; Rowen B. Bell (1995). Grupos y representaciones . Saltador. pag. 29.ISBN​ 978-0-387-94525-5.
7. Burnside, William (1911), Teoría de grupos de orden finito (2 ed.), Cambridge, p. 22, ISBN 0-486-49575-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des ecuaciones algebriques , París: Gauther-Villars
9. Nummela, Eric (1980), "Teorema de Cayley para grupos topológicos", American Mathematical Monthly , 87 (3), Mathematical Association of America: 202–203, doi :10.2307/2321608, JSTOR  2321608
10. Cayley, Arthur (1854), "Sobre la teoría de grupos dependiendo de la ecuación simbólica θn=1", Revista Filosófica , 7 (42): 40–47
11. von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien" [Estudios teóricos de grupos], Mathematische Annalen , 20 (1): 30, doi :10.1007/BF01443322, hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN  0025-5831, S2CID  179178038. (en alemán)
12. Burnside, William (1897), Teoría de grupos de orden finito (1 ed.), Cambridge, p. 22{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Jacobson (2009, pág.31)

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.