Orden de inclusión

Orden parcial que surge como relación de inclusión de subconjuntos en alguna colección de objetos

En el campo matemático de la teoría del orden , un orden de inclusión es el orden parcial que surge como la relación de inclusión de subconjuntos en alguna colección de objetos. De manera simple, cada conjunto parcial P = ( X ,≤) es ( isomorfo a) un orden de inclusión (así como cada grupo es isomorfo a un grupo de permutación – ver el teorema de Cayley ). Para ver esto, asocie a cada elemento x de X el conjunto

${\displaystyle X_{\leq (x)}=\{y\in X\mid y\leq x\};}$

entonces la transitividad de ≤ asegura que para todos a y b en X , tenemos

${\displaystyle X_{\leq (a)}\subseteq X_{\leq (b)}{\text{ precisely when }}a\leq b.}$

Puede haber conjuntos de cardinalidad menores que tales que P sea isomorfo al orden de inclusión en S . El tamaño del S más pequeño posible se denomina bidimensión de P . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |X|}$

Varias clases importantes de conjuntos parciales surgen como órdenes de inclusión para algunas colecciones naturales, como la red booleana Q ⁿ , que es la colección de todos los 2 ⁿ subconjuntos de un conjunto de n elementos, los órdenes de contención de intervalos , que son precisamente los órdenes de dimensión de orden como máximo dos, y los órdenes de dimensión n , que son los órdenes de contención en colecciones de n cajas ancladas en el origen . Otros órdenes de contención que son interesantes por derecho propio incluyen los órdenes de círculo , que surgen de discos en el plano, y los órdenes de ángulo .

Véase también

• Teorema de representación de Birkhoff
• Gráfica de intersección
• Orden de intervalo

Referencias

• Fishburn, PC; Trotter, WT (1998). "Órdenes de contención geométrica: un estudio". Orden . 15 (2): 167–182. doi :10.1023/A:1006110326269. S2CID  14411154.
• Santoro, N., Sidney, JB, Sidney, SJ, y Urrutia, J. (1989). "Contención geométrica y órdenes parciales". Revista SIAM de Matemáticas Discretas . 2 (2): 245–254. CiteSeerX  10.1.1.65.1927 . doi :10.1137/0402021.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )