En matemáticas, una función L es una función meromórfica en el plano complejo , asociada a una de varias categorías de objetos matemáticos . Una serie L es una serie de Dirichlet , generalmente convergente en un semiplano , que puede dar lugar a una función L mediante continuación analítica . La función zeta de Riemann es un ejemplo de función L , y algunas conjeturas importantes que involucran funciones L son la hipótesis de Riemann y sus generalizaciones .
La teoría de las funciones L se ha convertido en una parte muy sustancial, y todavía en gran medida conjetural , de la teoría analítica de números contemporánea . En ella se construyen amplias generalizaciones de la función zeta de Riemann y de la serie L para un carácter de Dirichlet , y se exponen de forma sistemática sus propiedades generales, en la mayoría de los casos aún fuera del alcance de la prueba. Debido a la fórmula del producto de Euler, existe una profunda conexión entre las funciones L y la teoría de los números primos .
El campo matemático que estudia las funciones L a veces se denomina teoría analítica de funciones L.
Distinguimos en primer lugar entre la serie L , una representación en serie infinita (por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta de Riemann ), y la función L , la función en el plano complejo que es su continuación analítica . Las construcciones generales comienzan con una serie L , definida primero como una serie de Dirichlet , y luego por una expansión como un producto de Euler indexado por números primos. Se requieren estimaciones para demostrar que esto converge en algún semiplano derecho de los números complejos . Luego uno se pregunta si la función así definida puede continuar analíticamente hasta el resto del plano complejo (quizás con algunos polos ).
Esta continuación meromórfica (conjetural) en el plano complejo se denomina función L. En los casos clásicos, ya se sabe que los valores y el comportamiento de la función L contienen información útil en los puntos en los que la representación en serie no converge. El término general función L incluye aquí muchos tipos conocidos de funciones zeta. La clase Selberg es un intento de capturar las propiedades básicas de las funciones L en un conjunto de axiomas, fomentando así el estudio de las propiedades de la clase en lugar de las funciones individuales.
Se pueden enumerar características de ejemplos conocidos de funciones L que desearíamos ver generalizadas:
Un trabajo detallado ha producido un gran cuerpo de conjeturas plausibles, por ejemplo sobre el tipo exacto de ecuación funcional que debería aplicarse. Dado que la función zeta de Riemann se conecta a través de sus valores en números enteros pares positivos (y enteros impares negativos) con los números de Bernoulli , se busca una generalización apropiada de ese fenómeno. En ese caso se han obtenido resultados para funciones L p -ádicas , que describen ciertos módulos de Galois .
Las estadísticas de las distribuciones cero son de interés debido a su conexión con problemas como la hipótesis generalizada de Riemann, la distribución de números primos, etc. Las conexiones con la teoría de matrices aleatorias y el caos cuántico también son de interés. La estructura fractal de las distribuciones se ha estudiado utilizando análisis de rango reescalado . [2] La autosimilitud de la distribución cero es bastante notable y se caracteriza por una gran dimensión fractal de 1,9. Esta dimensión fractal bastante grande se encuentra sobre ceros que cubren al menos quince órdenes de magnitud para la función zeta de Riemann , y también para los ceros de otras funciones L de diferentes órdenes y conductores.
Uno de los ejemplos influyentes, tanto para la historia de las funciones L más generales como para un problema de investigación aún abierto, es la conjetura desarrollada por Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer a principios de la década de 1960. Se aplica a una curva elíptica E , y el problema que intenta resolver es la predicción del rango de la curva elíptica sobre los números racionales (u otro cuerpo global ): es decir, el número de generadores libres de su grupo de puntos racionales. Gran parte del trabajo previo en el área comenzó a unificarse en torno a un mejor conocimiento de las funciones L. Esto fue algo así como un ejemplo paradigmático de la naciente teoría de las funciones L.
Este desarrollo precedió al programa Langlands por unos pocos años, y puede considerarse como complementario a él: el trabajo de Langlands se relaciona en gran medida con las funciones L de Artin , que, como las funciones L de Hecke , se definieron varias décadas antes, y con las funciones L asociadas a representaciones automórficas generales .
Poco a poco se fue haciendo más claro en qué sentido la construcción de funciones zeta de Hasse-Weil podía funcionar para proporcionar funciones L válidas , en el sentido analítico: debía haber algún aporte de análisis, lo que significaba análisis automórfico . El caso general ahora unifica a nivel conceptual una serie de programas de investigación diferentes.