En el análisis armónico y la teoría de números , una forma automórfica es una función de buen comportamiento de un grupo topológico G a los números complejos (o espacio vectorial complejo ) que es invariante bajo la acción de un subgrupo discreto del grupo topológico. Las formas automórficas son una generalización de la idea de funciones periódicas en el espacio euclidiano a grupos topológicos generales.
Las formas modulares son formas automorfas holomorfas definidas sobre los grupos SL(2, R ) o PSL(2, R ) con el subgrupo discreto siendo el grupo modular , o uno de sus subgrupos de congruencia ; en este sentido la teoría de formas automorfas es una extensión de la teoría de formas modulares. De manera más general, se puede utilizar el enfoque adélico como una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Desde este punto de vista, una forma automorfa sobre el grupo G ( A F ), para un grupo algebraico G y un cuerpo de números algebraicos F , es una función de valor complejo en G ( A F ) que se deja invariante bajo G ( F ) y satisface ciertas condiciones de suavidad y crecimiento.
Poincaré fue el primero en descubrir las formas automorfas como generalizaciones de funciones trigonométricas y elípticas . A través de las conjeturas de Langlands , las formas automorfas desempeñan un papel importante en la teoría de números moderna. [1]
En matemáticas , la noción de factor de automorfía surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supóngase que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Entonces, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde hasta los números complejos. Una función se denomina forma automorfa si se cumple lo siguiente:
donde es una función holomorfa en todas partes distinta de cero. De manera equivalente, una forma automorfa es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de .
El factor de automorfía para la forma automórfica es la función . Una función automórfica es una forma automórfica para la cual es la identidad.
Una forma automórfica es una función F en G (con valores en algún espacio vectorial fijo de dimensión finita V , en el caso de valores vectoriales), sujeta a tres tipos de condiciones:
La primera de ellas es la que hace que F sea automórfica , es decir, satisface una interesante ecuación funcional que relaciona F ( g ) con F ( γg ) para . En el caso de valor vectorial, la especificación puede implicar una representación de grupo de dimensión finita ρ que actúa sobre los componentes para 'retorcerlos'. La condición del operador de Casimir dice que algunos laplacianos [ cita requerida ] tienen a F como función propia; esto asegura que F tenga excelentes propiedades analíticas, pero si es realmente una función analítica compleja depende del caso particular. La tercera condición es manejar el caso donde G /Γ no es compacto pero tiene cúspides .
La formulación requiere la noción general de factor de automorfía j para Γ, que es un tipo de 1- cociclo en el lenguaje de la cohomología de grupos . Los valores de j pueden ser números complejos, o de hecho matrices cuadradas complejas, correspondientes a la posibilidad de formas automórficas con valores vectoriales. La condición de cociclo impuesta al factor de automorfía es algo que se puede verificar rutinariamente, cuando j se deriva de una matriz jacobiana , por medio de la regla de la cadena .
Una definición más directa pero técnicamente avanzada que utiliza la teoría de campos de clases , construye formas automórficas y sus funciones correspondientes como incrustaciones de grupos de Galois a sus extensiones de campo globales subyacentes . En esta formulación, las formas automórficas son ciertos invariantes finitos, que se asignan desde el grupo de clases ideal bajo la ley de reciprocidad de Artin . Aquí, la estructura analítica de su función L permite generalizaciones con varias propiedades algebro-geométricas ; y el programa Langlands resultante . Para simplificar demasiado, las formas automórficas en esta perspectiva general son funcionales analíticos que cuantifican la invariancia de los campos numéricos en un sentido más abstracto, lo que indica la "primitividad" de su estructura fundamental . Permitiendo una poderosa herramienta matemática para analizar las construcciones invariantes de prácticamente cualquier estructura numérica.
Es difícil obtener ejemplos de formas automórficas en un estado explícito no abstracto, aunque algunas tienen propiedades directamente analíticas:
- La serie de Eisenstein (que es una forma modular prototípica ) sobre ciertas extensiones de campo como grupos abelianos .
- Generalizaciones específicas de las funciones L de Dirichlet como objetos de teoría de campos de clase .
- Generalmente cualquier objeto analítico armónico como funtor sobre grupos de Galois que es invariante en su grupo de clase ideal (o idele ).
Como principio general, las formas automórficas pueden considerarse como funciones analíticas sobre estructuras abstractas , que son invariantes con respecto a un análogo generalizado de su ideal primo (o una representación fundamental irreducible abstracta ). Como se mencionó, las funciones automórficas pueden verse como generalizaciones de formas modulares (como por lo tanto curvas elípticas ), construidas por algún análogo de función zeta sobre una estructura automórfica . En el sentido más simple, las formas automórficas son formas modulares definidas sobre grupos de Lie generales ; debido a sus propiedades de simetría. Por lo tanto, en términos más simples, una función general que analiza la invariancia de una estructura con respecto a su 'morfología' prima .
Antes de que se propusiera esta configuración muy general (alrededor de 1960), ya se habían producido desarrollos sustanciales de formas automórficas distintas de las formas modulares. El caso de Γ, un grupo fuchsiano, ya había recibido atención antes de 1900 (véase más abajo). Las formas modulares de Hilbert (también llamadas formas de Hilbert-Blumenthal) se propusieron poco después, aunque una teoría completa tardó mucho en llegar. Las formas modulares de Siegel , para las que G es un grupo simpléctico , surgieron naturalmente al considerar espacios de módulos y funciones theta . El interés de la posguerra en varias variables complejas hizo que fuera natural perseguir la idea de la forma automórfica en los casos en que las formas son de hecho analíticas complejas. Se realizó mucho trabajo, en particular por Ilya Piatetski-Shapiro , en los años alrededor de 1960, en la creación de dicha teoría. La teoría de la fórmula de traza de Selberg , tal como la aplicaron otros, mostró la considerable profundidad de la teoría. Robert Langlands demostró cómo (en general, ya que se conocen muchos casos particulares) el teorema de Riemann-Roch podía aplicarse al cálculo de dimensiones de formas automorfas; se trata de una especie de comprobación a posteriori de la validez de la noción. También elaboró la teoría general de las series de Eisenstein , que corresponde a lo que en términos de teoría espectral sería el «espectro continuo» para este problema, dejando la forma cúspide o parte discreta para investigar. Desde el punto de vista de la teoría de números, las formas cúspide habían sido reconocidas, desde Srinivasa Ramanujan , como el núcleo de la cuestión.
La noción posterior de una "representación automórfica" ha demostrado ser de gran valor técnico al tratar con G , un grupo algebraico , tratado como un grupo algebraico adélico . No incluye completamente la idea de forma automórfica introducida anteriormente, en el sentido de que el enfoque adélico es una forma de tratar con toda la familia de subgrupos de congruencia a la vez. Dentro de un espacio L 2 para un cociente de la forma adélica de G , una representación automórfica es una representación que es un producto tensorial infinito de representaciones de grupos p-ádicos , con representaciones de álgebra envolvente específicas para el primo infinito (s). Una forma de expresar el cambio de énfasis es que los operadores de Hecke se colocan aquí en efecto al mismo nivel que los operadores de Casimir; lo que es natural desde el punto de vista del análisis funcional [ cita requerida ] , aunque no tan obviamente para la teoría de números. Este es el concepto que es básico para la formulación de la filosofía de Langlands .
Uno de los primeros descubrimientos de Poincaré en matemáticas, que data de la década de 1880, fueron las formas automórficas. Las llamó funciones fuchsianas, en honor al matemático Lazarus Fuchs , porque Fuchs era conocido por ser un buen profesor y había investigado sobre ecuaciones diferenciales y la teoría de funciones. Poincaré desarrolló el concepto de estas funciones como parte de su tesis doctoral. Según la definición de Poincaré, una función automórfica es una que es analítica en su dominio y es invariante bajo un grupo infinito discreto de transformaciones fraccionarias lineales. Las funciones automórficas generalizan tanto las funciones trigonométricas como las elípticas .
Poincaré explica cómo descubrió las funciones fucsianas:
Durante quince días traté de demostrar que no podían existir funciones como las que luego llamé funciones fuchsianas. En aquel entonces era muy ignorante; todos los días me sentaba a mi mesa de trabajo, permanecía allí una o dos horas, probaba un gran número de combinaciones y no obtenía ningún resultado. Una noche, contrariamente a mi costumbre, bebí café negro y no pude dormir. Las ideas surgían en masa; las sentía chocar hasta que las parejas se entrelazaban, por así decirlo, formando una combinación estable. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones fuchsianas, las que provienen de la serie hipergeométrica ; sólo tuve que escribir los resultados, lo que me llevó unas pocas horas.
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