Función automorfa

Función matemática en un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo.

En matemáticas, una función automórfica es una función sobre un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo , en otras palabras una función sobre el espacio cociente . A menudo el espacio es una variedad compleja y el grupo es un grupo discreto .

Factor de automorfia

En matemáticas , la noción de factor de automorfia surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supongamos que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Luego, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde los números complejos. Una función se denomina forma automórfica si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(g.x)=j_{g}(x)f(x)}$

donde hay una función holomorfa en todas partes distinta de cero. De manera equivalente, una forma automórfica es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de . ${\displaystyle j_{g}(x)}$ ${\displaystyle G}$

El factor de automorfia para la forma automorfa es la función . Una función automórfica es una forma automórfica cuya identidad es. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Algunos datos sobre los factores de automorfia:

• Cada factor de automorfia es un cociclo para la acción de sobre el grupo multiplicativo de funciones holomorfas distintas de cero. ${\displaystyle G}$
• El factor de automorfia es una cofrontera si y sólo si surge de una forma automorfa en todas partes distinta de cero.
• Para un factor de automorfia dado, el espacio de formas automorfas es un espacio vectorial.
• El producto puntual de dos formas automorfas es una forma automorfa correspondiente al producto de los factores de automorfia correspondientes.

Relación entre factores de automorfia y otras nociones:

• Sea una celosía en un grupo de Lie . Entonces, un factor de automorfía para corresponde a un paquete de líneas en el grupo de cocientes . Además, las formas automorfas para un factor de automorfia dado corresponden a secciones del conjunto de líneas correspondiente. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

El caso específico de un subgrupo de SL (2,  R ), actuando sobre el semiplano superior , se trata en el artículo sobre factores automórficos . ${\displaystyle \Gamma }$

Ejemplos

• grupo kleiniano
• Función modular elíptica
• Función modular
• toro complejo

Referencias

• AN Parshin (2001) [1994], "Forma automórfica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Andrianov, AN; Parshin, AN (2001) [1994], "Función automórfica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ford, Lester R. (1929), Funciones automórficas, Nueva York, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM  55.0810.04
• Fricke, Robert ; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda Erster; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01