Función elíptica

Clase de funciones matemáticas periódicas

En el campo matemático del análisis complejo , las funciones elípticas son tipos especiales de funciones meromórficas que satisfacen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque provienen de integrales elípticas . Esas integrales a su vez se denominan elípticas porque se encontraron por primera vez para el cálculo de la longitud del arco de una elipse .

Las funciones elípticas importantes son las funciones elípticas de Jacobi y la función de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ .

Un desarrollo posterior de esta teoría condujo a funciones hiperelípticas y formas modulares .

Definición

Una función meromórfica se denomina función elíptica si hay dos números complejos lineales independientes tales que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)}$y . ${\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} }$

Entonces las funciones elípticas tienen dos períodos y por lo tanto son funciones doblemente periódicas .

Red de períodos y dominio fundamental

El dominio fundamental de una función elíptica como la celda unitaria de su red de períodos.

Paralelogramo donde se identifican los lados opuestos

Si es una función elíptica con períodos también se cumple que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$

${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$

para cada combinación lineal con . ${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$

El grupo abeliano

${\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$

se llama red de períodos .

El paralelogramo generado por y ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$

es un dominio fundamental de actuación sobre . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Geométricamente, el plano complejo está recubierto de paralelogramos. Todo lo que sucede en un dominio fundamental se repite en todos los demás. Por esa razón, podemos ver las funciones elípticas como funciones cuyo dominio es el grupo cociente . Este grupo cociente, llamado curva elíptica , se puede visualizar como un paralelogramo en el que se identifican los lados opuestos, que topológicamente es un toro . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Teoremas de Liouville

Los tres teoremas siguientes se conocen como teoremas de Liouville (1847).

1er teorema

Una función elíptica holomorfa es constante. ^[2]

Esta es la forma original del teorema de Liouville y se puede derivar de él. ^[3] Una función elíptica holomorfa está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Por lo tanto, es constante según el teorema de Liouville.

2do teorema

Toda función elíptica tiene un número finito de polos y la suma de sus residuos es cero. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Este teorema implica que no existe ninguna función elíptica distinta de cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.

3er teorema

Una función elíptica no constante toma cada valor el mismo número de veces contadas con multiplicidad. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Función ℘ de Weierstrass

Una de las funciones elípticas más importantes es la función de Weierstrass. Para una red de períodos dada, se define por ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

Está construida de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de la red. El término existe para hacer que la serie sea convergente. ${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

${\displaystyle \wp }$es una función elíptica par; es decir, . ^[6] ${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$

Su derivado

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$

es una función impar, es decir ^[6] ${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$

Uno de los principales resultados de la teoría de funciones elípticas es el siguiente: Toda función elíptica con respecto a una red de períodos dada puede expresarse como una función racional en términos de y . ^[7] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \wp '}$

La función - satisface la ecuación diferencial ${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

donde y son constantes que dependen de . Más precisamente, y , donde y son las llamadas series de Eisenstein . ^[8] ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle G_{4}}$ ${\displaystyle G_{6}}$

En lenguaje algebraico, el campo de funciones elípticas es isomorfo al campo

${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})}$,

donde el isomorfismo se asigna a y a . ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp '}$ ${\displaystyle Y}$

• 
  Función de Weierstrass con red de períodos ${\displaystyle \wp }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  Derivada de la función - ${\displaystyle \wp }$

Relación con las integrales elípticas

La relación con las integrales elípticas tiene un trasfondo principalmente histórico. Las integrales elípticas habían sido estudiadas por Legendre , cuyo trabajo fue retomado por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi .

Abel descubrió las funciones elípticas tomando la función inversa de la función integral elíptica. ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

con . ^[9] ${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$

Además definió las funciones ^[10]

${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$

y

${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$.

Después de continuar al plano complejo resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel .

Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de manera similar como funciones inversas de integrales elípticas.

Jacobi consideró la función integral

${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

y lo invirtió: . representa seno amplitudinis y es el nombre de la nueva función. ^[11] Luego introdujo las funciones coseno amplitudinis y delta amplitudinis , que se definen de la siguiente manera: ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$

${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}$.

Sólo dando este paso, Jacobi pudo demostrar su fórmula general de transformación de integrales elípticas en 1827. ^[12]

Historia

Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de funciones elípticas . Cuando intentaron calcular la longitud de arco de una lemniscata se encontraron con problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. ^[13] Estaba claro que esas llamadas integrales elípticas no podían resolverse utilizando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, que publicó en 1750. ^[13] Euler inmediatamente generalizó los resultados de Fagnano y planteó su teorema de adición algebraica para integrales elípticas. ^[13]

A excepción de un comentario de Landen ^[14], sus ideas no fueron seguidas hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse . ^[15] Posteriormente, Legendre estudió las integrales elípticas y las llamó funciones elípticas . Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les trascendentes elliptiques (1792), ^[16] Exercices de calcul intégral (1811-1817), ^[17] Traité des fonctions elliptiques (1825-1832). ^[18] El trabajo de Legendre fue dejado prácticamente intacto por los matemáticos hasta 1826.

Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi retomaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio, invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se llaman funciones elípticas . Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum , que se publicó en 1829. ^{[19] El teorema de adición que Euler encontró fue planteado y demostrado en su forma general por Abel en 1829. En aquellos días, la teoría de funciones elípticas y la teoría de funciones doblemente periódicas se consideraban teorías diferentes.} Briot y Bouquet las unieron en 1856. ^[20] Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema. ^[21]

Véase también

• Integral elíptica
• Curva elíptica
• Grupo modular
• Función theta

Referencias

1. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
2. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
3. Jeremy Gray (2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, pp. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
5. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
6. K. Chandrasekharan (1985), Funciones elípticas (en alemán), Berlín: Springer-Verlag, p. 28, ISBN 0-387-15295-4
7. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
8. Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (en alemán) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlín: Springer, p. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
9. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 74, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 75, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 82, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
12. Gray, Jeremy (14 de octubre de 2015), Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX (en alemán), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. pp. 23 y siguientes. ISBN 978-3-319-23715-2.OCLC 932002663  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. John Landen: Una investigación de un teorema general para hallar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, por medio de dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de allí. En: The Philosophical Transactions of the Royal Society of London 65 (1775), Nr. XXVI, S. 283–289, JSTOR  106197.
15. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), págs. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d'ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. En: Histoire de l'Académie royale des sciences Paris (1788), págs. 644–683.
16. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les trascendentes elípticas, où l'on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces tracendantes, qui comprennent les arcs d'elipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les apps du calcul intégral. Du Pont y Firmin-Didot, París 1792. Englische Übersetzung Una memoria sobre los trascendentales elípticos. En: Thomas Leybourn: Nueva serie del repositorio matemático . Banda 2. Glendinning, Londres 1809, Parte 3, págs. 1–34.
17. Adrien-Marie Legendre: Ejercicios de cálculo integral sobre diversos órdenes de trascendentes y sobre las cuadraturas. 3 bandas. (Banda 1, Banda 2, Banda 3). París 1811–1817.
18. Adrien-Marie Legendre: Tratado de funciones elípticas y de integrales eulériennes, con tablas para facilitar el cálculo numérico. 3 habitaciones. (Banda 1, Banda 2, Banda 3/1, Banda 3/2, Banda 3/3). Huzard-Courcier, París 1825–1832.
19. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Konigsberg 1829.
20. Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. pág. 122. ISBN 978-3-319-23715-2.OCLC 932002663  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
21. Gray, Jeremy (2015). Lo real y lo complejo: una historia del análisis en el siglo XIX. Cham. pág. 96. ISBN 978-3-319-23715-2.OCLC 932002663  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Literatura

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. Véase también el capítulo 18. (sólo considera el caso de invariantes reales).
• NI Akhiezer , Elementos de la teoría de funciones elípticas , (1970) Moscú, traducido al inglés como AMS Translations of Mathematical Monographs Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 
• Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números , Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (Ver Capítulo 1). 
• ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press, 1952

Enlaces externos

• "Función elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MAA, Traducción del artículo de Abel sobre funciones elípticas.
• Funciones elípticas e integrales elípticas en YouTube , conferencia de William A. Schwalm (4 horas)
• Johansson, Fredrik (2018). "Evaluación numérica de funciones elípticas, integrales elípticas y formas modulares". arXiv : 1806.06725 [cs.NA].