Forma modular de Siegel

Tipo principal de forma automórfica en matemáticas.

En matemáticas , las formas modulares de Siegel son un tipo importante de forma automórfica . Éstas generalizan formas modulares elípticas convencionales que están estrechamente relacionadas con las curvas elípticas . Las variedades complejas construidas en la teoría de las formas modulares de Siegel son variedades modulares de Siegel , que son modelos básicos de lo que debería ser un espacio de módulos para variedades abelianas (con alguna estructura de niveles adicional ) y se construyen como cocientes del semiespacio superior de Siegel en lugar de que el semiplano superior por grupos discretos .

Las formas modulares de Siegel son funciones holomorfas en el conjunto de matrices simétricas n × n con parte imaginaria definida positiva ; las formas deben satisfacer una condición de automorfia. Las formas modulares de Siegel pueden considerarse formas modulares multivariables, es decir, funciones especiales de varias variables complejas .

Las formas modulares de Siegel fueron investigadas por primera vez por Carl Ludwig Siegel  (1939) con el fin de estudiar analíticamente las formas cuadráticas . Estos surgen principalmente en diversas ramas de la teoría de números , como la geometría aritmética y la cohomología elíptica . Las formas modulares de Siegel también se han utilizado en algunas áreas de la física , como la teoría de campos conforme y la termodinámica de agujeros negros en la teoría de cuerdas .

Definición

Preliminares

dejar y definir ${\displaystyle g,N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positive definite}}\right\},}$

el semiespacio superior de Siegel . Defina el grupo simpléctico de nivel , denotado por como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}(N),}$

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},}$

¿ Dónde está la matriz identidad ? Finalmente, deja ${\displaystyle I_{g}}$ ${\displaystyle g\times g}$

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)}$

ser una representación racional , donde es un espacio vectorial complejo de dimensión finita . ${\displaystyle V}$

Forma modular de Siegel

Dado

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

definir la notación

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).}$

Entonces una función holomorfa

${\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V}$

es una forma modular de Siegel de grado (a veces llamado género), peso y nivel si ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )=f}$

para todos . En el caso de que , requerimos además que sea holomórfico 'en el infinito'. Esta suposición no es necesaria debido al principio de Koecher, que se explica a continuación. Denota el espacio de peso , grado y nivel de las formas modulares de Siegel por ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N)}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

Ejemplos

Algunos métodos para construir formas modulares de Siegel incluyen:

• serie eisenstein
• Funciones theta de redes (posiblemente con un polinomio pluriarmónico)
• Ascensor Saito-Kurokawa para grado 2
• ascensor ikeda
• Ascensor Miyawaki
• Productos de formas modulares Siegel.

Nivel 1, grado pequeño

Para el grado 1, las formas modulares Siegel de nivel 1 son las mismas que las formas modulares de nivel 1. El anillo de tales formas es un anillo polinomial C [ E ₄ , E ₆ ] en la serie (grado 1) de Eisenstein E ₄ y E ₆ .

Para el grado 2, (Igusa 1962, 1967) demostró que el anillo de las formas modulares de Siegel de nivel 1 es generado por las series de Eisenstein (grado 2) E ₄ y E ₆ y 3 formas más de pesos 10, 12 y 35. El ideal de relaciones entre ellos se genera por el cuadrado de la forma peso 35 menos un determinado polinomio en las demás.

Para el grado 3, Tsuyumine (1986) describió el anillo de formas modulares de Siegel de nivel 1, dando un conjunto de 34 generadores.

Para el grado 4 se han encontrado las formas modulares Siegel de nivel 1 de pesas pequeñas. No hay formas de cúspide de pesos 2, 4 o 6. El espacio de formas de cúspide de peso 8 es unidimensional, abarcado por la forma Schottky . El espacio de las formas de cúspides de peso 10 tiene dimensión 1, el espacio de las formas de cúspides de peso 12 tiene dimensión 2, el espacio de las formas de cúspides de peso 14 tiene dimensión 3, y el espacio de las formas de cúspides de peso 16 tiene dimensión 7 (Pobre y Yuen 2007) .error de harv: sin destino: CITEREFPoorYuen2007 ( ayuda )

Para el grado 5, el espacio de las formas de las cúspides tiene dimensión 0 para el peso 10, dimensión 2 para el peso 12. El espacio de las formas del peso 12 tiene dimensión 5.

Para el grado 6, no hay formas cúspide de los pesos 0, 2, 4, 6, 8. El espacio de las formas modulares de Siegel del peso 2 tiene dimensión 0, y las de los pesos 4 o 6 tienen dimensión 1.

Nivel 1, peso pequeño

Para pesos pequeños y nivel 1, Duke & Imamoḡlu (1998) dan los siguientes resultados (para cualquier grado positivo):

• Peso 0: el espacio de las formas es unidimensional, abarcado por 1.
• Peso 1: la única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 2: la única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 3: la única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 4: Para cualquier grado, el espacio de formas de peso 4 es unidimensional, abarcado por la función theta de la red E ₈ (de grado apropiado). La única forma de cúspide es 0.
• Peso 5: La única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 6: El espacio de formas de peso 6 tiene dimensión 1 si el grado es como máximo 8, y dimensión 0 si el grado es al menos 9. La única forma cúspide es 0.
• Peso 7: El espacio de las formas cúspides desaparece si el grado es 4 o 7.
• Peso 8: En el género 4, el espacio de las formas cúspides es unidimensional, abarcado por la forma Schottky y el espacio de las formas es bidimensional. No hay formas cúspides si el género es 8.
• No existen formas cúspides si el género es mayor al doble del peso.

Tabla de dimensiones de espacios de nivel 1 formas modulares Siegel

La siguiente tabla combina los resultados anteriores con información de Poor & Yuen (2006) y Chenevier & Lannes (2014) y Taïbi (2014).Error de harvtxt: sin destino: CITEREFPoorYuen2006 ( ayuda )

Principio de Koecher

El teorema conocido como principio de Koecher establece que si es una forma modular de Siegel de peso , nivel 1 y grado , entonces está acotada en subconjuntos de de la forma ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},}$

dónde . El corolario de este teorema es el hecho de que las formas modulares de grado de Siegel tienen expansiones de Fourier y, por tanto, son holomorfas en el infinito. ^[1] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle g>1}$

Aplicaciones a la física

En el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos en la teoría de cuerdas, la función que captura naturalmente los microestados de la entropía de los agujeros negros es una forma modular de Siegel. ^[2] En general, se ha descrito que las formas modulares de Siegel tienen el potencial de describir agujeros negros u otros sistemas gravitacionales. ^[2]

Las formas modulares de Siegel también tienen usos como funciones generadoras para familias de CFT2 con carga central creciente en la teoría de campos conforme , particularmente la correspondencia hipotética AdS/CFT . ^[3]

Referencias

1. Esto fue demostrado por Max Koecher , Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I , Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Un principio correspondiente para las formas modulares de Hilbert aparentemente se conocía antes, después de Fritz Gotzky, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher , Math. Ana. 100 (1928), págs.411-37
2. Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares de Siegel y entropía de los agujeros negros". Revista de Física de Altas Energías . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Código Bib : 2017JHEP...04..057B. doi :10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID  256037311.
3. Belín, Alejandro; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares de Siegel y escasez en AdS3/CFT2". Revista de Física de Altas Energías . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Código Bib : 2018JHEP...11..037B. doi :10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID  256040660.

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode :2014arXiv1409.7616C
• Duque, W.; Imamoḡlu, Ö. (1998), "Formas modulares de Siegel de pequeño peso", Math. Ana. , 310 (1): 73–82, doi :10.1007/s002080050137, SEÑOR  1600030, S2CID  122219495
• Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 254. Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-68649-8, ISBN 978-3-540-11661-5, señor  0871067{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
• van der Geer, Gerard (2008), "Siegel Modular Forms and Their Applications", El 1-2-3 de las formas modulares, 181–245 , Universitext, Berlín: Springer, págs. 181–245, arXiv : math/0605346 , doi :10.1007/978-3-540-74119-0_3, ISBN 978-3-540-74117-6, señor  2409679
• Igusa, Jun-ichi (1962), "Sobre las formas modulares de Siegel del género dos", Amer. J. Matemáticas. , 84 (1): 175–200, doi :10.2307/2372812, JSTOR  2372812, SEÑOR  0141643
• Klingen, Helmut (2003), Conferencias introductorias sobre las formas modulares de Siegel , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
• Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Matemáticas. Ana. , 116 : 617–657, doi : 10.1007/bf01597381, SEÑOR  0001251, S2CID  124337559
• Taïbi, Olivier (2014), Dimensiones de espacios de formas automórficas de nivel uno para grupos clásicos divididos utilizando la fórmula de traza , arXiv : 1406.4247 , Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
• Tsuyumine, Shigeaki (1986), "Sobre las formas modulares de grado tres de Siegel", Amer. J. Matemáticas. , 108 (4): 755–862, doi :10.2307/2374517, JSTOR  2374517, SEÑOR  0853217