En teoría de números , una rama de las matemáticas , una forma de cúspide es un tipo particular de forma modular con un coeficiente constante cero en la expansión de la serie de Fourier .
Una forma de cúspide se distingue en el caso de formas modulares para el grupo modular por la desaparición del coeficiente constante a 0 en la expansión en serie de Fourier (ver q -expansión )
Esta expansión de Fourier existe como consecuencia de la presencia en la acción del grupo modular en el semiplano superior mediante la transformación
Para otros grupos, puede haber alguna traslación a través de varias unidades, en cuyo caso la expansión de Fourier se realiza en términos de un parámetro diferente. Sin embargo, en todos los casos, el límite cuando q → 0 es el límite en el semiplano superior como parte imaginaria de z → ∞. Tomando el cociente por el grupo modular, este límite corresponde a una cúspide de una curva modular (en el sentido de un punto añadido para la compactación ). Entonces, la definición equivale a decir que una forma de cúspide es una forma modular que desaparece en una cúspide. En el caso de otros grupos, puede haber varias cúspides y la definición se convierte en una forma modular que desaparece en todas las cúspides. Esto puede implicar varias ampliaciones.
Las dimensiones de los espacios de las formas cúspides son, en principio, computables mediante el teorema de Riemann-Roch . Por ejemplo, la función tau de Ramanujan τ ( n ) surge como la secuencia de coeficientes de Fourier de la forma cúspide de peso 12 para el grupo modular, con a 1 = 1. El espacio de tales formas tiene dimensión 1, lo que significa que esta definición es posible; y eso explica la acción de los operadores de Hecke en el espacio mediante multiplicación escalar (prueba de Mordell de las identidades de Ramanujan). Explícitamente es el discriminante modular.
que representa (hasta una constante de normalización ) el discriminante de la cúbica en el lado derecho de la ecuación de Weierstrass de una curva elíptica ; y la potencia 24 de la función Dedekind eta . Los coeficientes de Fourier aquí están escritos.
En el panorama más amplio de las formas automórficas , las formas cúspide son complementarias a las series de Eisenstein , en una distinción de espectro discreto / espectro continuo , o representación de serie discreta / representación inducida típica en diferentes partes de la teoría espectral . Es decir, las series de Eisenstein pueden "diseñarse" para que adopten valores determinados en las cúspides. Existe una gran teoría general, aunque depende de la bastante intrincada teoría de los subgrupos parabólicos y las correspondientes representaciones cúspides .
Considere un subgrupo parabólico estándar de algún grupo reductor (sobre , el anillo de Adele ), una forma automórfica se llama cúspide si para todos los subgrupos parabólicos tales que tenemos , donde está el subgrupo parabólico mínimo estándar. La notación para se define como .
