En matemáticas , el determinante de Fuglede−Kadison de un operador invertible en un factor finito es un número real positivo asociado a él. Define un homomorfismo multiplicativo del conjunto de operadores invertibles al conjunto de números reales positivos. El determinante de Fuglede−Kadison de un operador se suele denotar por .
Para una matriz en , que es la forma normalizada del valor absoluto del determinante de .
Definición
Sea un factor finito con la traza normalizada canónica y sea un operador invertible en . Entonces el determinante de Fuglede−Kadison de se define como
(cf. Relación entre determinante y traza a través de valores propios ). El número está bien definido mediante cálculo funcional continuo .
Propiedades
- para operadores invertibles ,
- para
- es norma-continua en , el conjunto de operadores invertibles en
- no excede el radio espectral de .
Extensiones a operadores singulares
Existen muchas extensiones posibles del determinante de Fuglede−Kadison a operadores singulares en . Todas ellas deben asignar un valor de 0 a los operadores con espacio nulo no trivial. Ninguna extensión del determinante de los operadores invertibles a todos los operadores en , es continua en la topología uniforme.
Extensión algebraica
La extensión algebraica de asigna un valor de 0 a un operador singular en .
Extensión analítica
Para un operador en , la extensión analítica de utiliza la descomposición espectral de para definir con el entendimiento de que si . Esta extensión satisface la propiedad de continuidad
- para
Generalizaciones
Aunque originalmente el determinante de Fuglede−Kadison se definió para operadores en factores finitos, se traslada al caso de operadores en álgebras de von Neumann con un estado trazal ( ) en cuyo caso se denota por .
Referencias
- Fuglede, Bent; Kadison, Richard (1952), "Teoría determinante en factores finitos", Ann. Math. , Serie 2, 55 (3): 520–530, doi :10.2307/1969645, JSTOR 1969645.
- de la Harpe, Pierre (2013), "Determinante de Fuglede−Kadison: tema y variaciones", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 110 (40): 15864–15877, doi : 10.1073/pnas.1202059110 , PMC 3791716 , PMID 24082099.