En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial habitual en los números complejos . Como en el caso complejo, tiene una función inversa, denominada logaritmo p -ádico .
La función exponencial habitual en C está definida por la serie infinita
De manera totalmente análoga, se define la función exponencial en C p , la finalización de la clausura algebraica de Q p , por
Sin embargo, a diferencia de exp que converge en todo C , exp p solo converge en el disco
Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y sólo si los sumandos tienden a cero, y dado que n ! en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos grandes p -adicamente, se necesita un valor pequeño de z en el numerador. De la fórmula de Legendre se deduce que si entonces tiende a , p -ádicamente.
Aunque el exponencial p -ádico a veces se denota como ex , el número e en sí no tiene un análogo p -ádico. Esto se debe a que la serie de potencias exp p ( x ) no converge en x = 1 . Es posible elegir un número e para que sea una raíz p -ésima de exp p ( p ) para p ≠ 2 , [a] pero existen múltiples raíces de este tipo y no hay elección canónica entre ellas. [1]
La serie de potencias
converge para x en C p satisfactoria | x | p < 1 y así define la función logaritmo p -ádica log p ( z ) para | z − 1| p < 1 que satisface la propiedad habitual log p ( zw ) = log p z + log p w . La función log p se puede extender a todo C ×
p (el conjunto de elementos distintos de cero de C p ) imponiendo que continúe satisfaciendo esta última propiedad y estableciendo log p ( p ) = 0. Específicamente, cada elemento w de C ×
p se puede escribir como w = p r ·ζ· z siendo r un número racional, ζ una raíz de la unidad y | z − 1| p < 1, [2] en cuyo caso log p ( w ) = log p ( z ). [b] Esta función en C ×
p A veces se le llama logaritmo de Iwasawa para enfatizar la elección de log p ( p ) = 0. De hecho, existe una extensión del logaritmo de | z − 1| p < 1 a todo C ×
p para cada elección de log p ( p ) en C p . [3]
Si z y w están ambos en el radio de convergencia de exp p , entonces su suma también lo está y tenemos la fórmula de suma habitual: exp p ( z + w ) = exp p ( z )exp p ( w ).
De manera similar, si z y w son elementos distintos de cero de C p, entonces log p ( zw ) = log p z + log p w .
Para z en el dominio de exp p , tenemos exp p (log p (1+ z )) = 1+ z y log p (exp p ( z )) = z .
Las raíces del logaritmo de Iwasawa log p ( z ) son exactamente los elementos de C p de la forma p r ·ζ donde r es un número racional y ζ es una raíz de la unidad. [4]
Tenga en cuenta que no existe ningún análogo en C p de la identidad de Euler , e 2 πi = 1. Este es un corolario del teorema de Strassmann .
Otra diferencia importante con la situación en C es que el dominio de convergencia de exp p es mucho menor que el de log p . En su lugar, se puede utilizar una función exponencial modificada, la exponencial de Artin-Hasse , que converge en | z | pag < 1.
