El teorema de densidad de Chebotarev en la teoría algebraica de números describe estadísticamente la división de los primos en una extensión de Galois dada K del campo de los números racionales . En términos generales, un entero primo se factorizará en varios primos ideales en el anillo de los enteros algebraicos de K. Solo pueden ocurrir un número finito de patrones de división. Aunque la descripción completa de la división de cada primo p en una extensión general de Galois es un importante problema sin resolver, el teorema de densidad de Chebotarev dice que la frecuencia de ocurrencia de un patrón dado, para todos los primos p menores que un entero grande N , tiende a un cierto límite cuando N tiende a infinito. Nikolai Chebotaryov lo demostró en su tesis de 1922, publicada en (Tschebotareff 1926).
Un caso especial que es más fácil de enunciar dice que si K es un campo de números algebraicos que es una extensión de Galois de grado n , entonces los números primos que se descomponen completamente en K tienen densidad
entre todos los primos. De manera más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius , que es un representante de una clase de conjugación bien definida en el grupo de Galois.
Entonces el teorema dice que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme sobre el grupo, de modo que una clase de conjugación con k elementos ocurre con frecuencia asintótica a
Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de números enteros complejos Z [ i ], observó que los números primos ordinarios pueden factorizarse aún más en este nuevo conjunto de números enteros. De hecho, si un primo p es congruente con 1 módulo 4, entonces se factoriza en un producto de dos números enteros gaussianos primos distintos, o "se divide completamente"; si p es congruente con 3 módulo 4, entonces sigue siendo primo, o es "inerte"; y si p es 2, entonces se convierte en un producto del cuadrado del primo (1+i) y el entero gaussiano invertible -i ; decimos que 2 "se ramifica". Por ejemplo,
De esta descripción se desprende que, a medida que se consideran números primos cada vez más grandes, la frecuencia de desdoblamiento de un número primo se acerca por completo a 1/2, y lo mismo ocurre con los números primos que siguen siendo primos en Z [ i ]. El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas demuestra que este es, en efecto, el caso. Aunque los números primos en sí mismos aparecen de forma bastante errática, el desdoblamiento de los números primos en la extensión
sigue una ley estadística simple.
Leyes estadísticas similares se aplican también a la descomposición de los primos en las extensiones ciclotómicas , obtenidas del cuerpo de los números racionales mediante la adición de una raíz primitiva de la unidad de un orden dado. Por ejemplo, los primos enteros ordinarios se agrupan en cuatro clases, cada una con probabilidad 1/4, según su patrón de descomposición en el anillo de los enteros correspondiente a las raíces octavas de la unidad. En este caso, la extensión del cuerpo tiene grado 4 y es abeliana , siendo el grupo de Galois isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Resultó que el grupo de Galois de la extensión desempeña un papel clave en el patrón de descomposición de los primos. Georg Frobenius estableció el marco para investigar este patrón y demostró un caso especial del teorema. El enunciado general fue demostrado por Nikolai Grigoryevich Chebotaryov en 1922.
El teorema de densidad de Chebotarev puede verse como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Una forma cuantitativa del teorema de Dirichlet establece que si N ≥ 2 es un entero y a es coprimo con N , entonces la proporción de los primos p congruentes con a módulo N es asintótica a 1/ n , donde n =φ( N ) es la función totiente de Euler . Este es un caso especial del teorema de densidad de Chebotarev para el N- ésimo cuerpo ciclotómico K. De hecho, el grupo de Galois de K / Q es abeliano y puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de residuos invertibles módulo N. El invariante de desdoblamiento de un primo p que no divide a N es simplemente su clase de residuo porque el número de primos distintos en los que p se desdobla es φ( N )/m, donde m es el orden multiplicativo de p módulo N; Por lo tanto , según el teorema de densidad de Chebotarev, los primos se distribuyen de manera asintóticamente uniforme entre diferentes clases de residuos coprimos con N.
En su artículo de revisión, Lenstra y Stevenhagen (1996) dan un resultado anterior de Frobenius en esta área. Supóngase que K es una extensión de Galois del cuerpo de números racionales Q , y P ( t ) un polinomio entero mónico tal que K es un cuerpo de desdoblamiento de P . Tiene sentido factorizar P módulo un número primo p . Su 'tipo de desdoblamiento' es la lista de grados de factores irreducibles de P mod p , es decir, P se factoriza de alguna manera sobre el cuerpo primo F p . Si n es el grado de P , entonces el tipo de desdoblamiento es una partición Π de n . Considerando también el grupo de Galois G de K sobre Q , cada g en G es una permutación de las raíces de P en K ; en otras palabras, al elegir un ordenamiento de α y sus conjugados algebraicos , G se representa fielmente como un subgrupo del grupo simétrico S n . Podemos escribir g por medio de su representación cíclica , lo que da un 'tipo de ciclo' c ( g ), nuevamente una partición de n .
El teorema de Frobenius establece que para cualquier elección dada de Π, los primos p para los cuales el tipo de desdoblamiento de P mod p es Π tienen una densidad natural δ, con δ igual a la proporción de g en G que tienen tipo de ciclo Π.
El enunciado del teorema de Chebotarev más general se da en términos del elemento de Frobenius de un primo (ideal), que es de hecho una clase de conjugación asociada C de elementos del grupo de Galois G . Si fijamos C entonces el teorema dice que asintóticamente una proporción | C |/| G | de primos tienen un elemento de Frobenius asociado como C . Cuando G es abeliano las clases por supuesto tienen cada una tamaño 1. Para el caso de un grupo no abeliano de orden 6 tienen tamaño 1, 2 y 3, y hay correspondientemente (por ejemplo) 50% de primos p que tienen un elemento de orden 2 como su Frobenius. Así que estos primos tienen grado de residuo 2, por lo que se dividen en exactamente tres ideales primos en una extensión de grado 6 de Q con él como grupo de Galois. [1]
Sea L una extensión finita de Galois de un cuerpo de números K con grupo de Galois G. Sea X un subconjunto de G que es estable bajo conjugación. El conjunto de primos v de K que no están ramificados en L y cuya clase de conjugación de Frobenius asociada F v está contenida en X tiene densidad
La afirmación es válida cuando la densidad se refiere a la densidad natural o a la densidad analítica del conjunto de primos. [3]
La hipótesis de Riemann generalizada implica una versión efectiva [4] del teorema de densidad de Chebotarev: si L / K es una extensión finita de Galois con grupo de Galois G , y C una unión de clases de conjugación de G , el número de primos no ramificados de K de norma inferior a x con clase de conjugación de Frobenius en C es
donde la constante implícita en la notación big-O es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.
La forma efectiva de la teoría de la densidad de Chebotarev se vuelve mucho más débil sin GRH. Tome L como una extensión finita de Galois de Q con grupo de Galois G y grado d . Tome como una representación irreducible no trivial de G de grado n , y tome como el conductor de Artin de esta representación. Supóngase que, para una subrepresentación de o , es entero; es decir, la conjetura de Artin se satisface para todo . Tome como el carácter asociado a . Entonces hay un positivo absoluto tal que, para ,
donde es 1 si es trivial y es 0 en caso contrario, y donde es un cero real excepcional de ; si no existe tal cero, el término puede ignorarse. La constante implícita de esta expresión es absoluta. [5]
El enunciado del teorema de densidad de Chebotarev puede generalizarse al caso de una extensión de Galois infinita L / K que no está ramificada fuera de un conjunto finito S de primos de K (es decir, si hay un conjunto finito S de primos de K tal que cualquier primo de K que no esté en S no está ramificado en la extensión L / K ). En este caso, el grupo de Galois G de L / K es un grupo profinito equipado con la topología de Krull. Como G es compacto en esta topología, hay una medida de Haar única μ en G. Para cada primo v de K que no esté en S hay una clase de conjugación de Frobenius asociada F v . El teorema de densidad de Chebotarev en esta situación puede enunciarse de la siguiente manera: [2]
Esto se reduce al caso finito cuando L / K es finito (la medida de Haar es entonces solo la medida de conteo).
Una consecuencia de esta versión del teorema es que los elementos de Frobenius de los primos no ramificados de L son densos en G.
El teorema de densidad de Chebotarev reduce el problema de clasificar las extensiones de Galois de un cuerpo de números al de describir la división de primos en extensiones. Específicamente, implica que, como extensión de Galois de K , L está determinada únicamente por el conjunto de primos de K que se dividen completamente en él. [6] Un corolario relacionado es que si casi todos los ideales primos de K se dividen completamente en L , entonces, de hecho, L = K. [7 ]
![{\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3654328584baa5dc58cd9e6155923a5819c078)
