La controversia Brouwer-Hilbert ( alemán : Grundlagenstreit , literalmente 'debate fundacional') fue un debate en las matemáticas del siglo XX sobre cuestiones fundamentales sobre la coherencia de los axiomas y el papel de la semántica y la sintaxis en las matemáticas. LEJ Brouwer , defensor de la escuela constructivista del intuicionismo , se opuso a David Hilbert , defensor del formalismo . Gran parte de la controversia tuvo lugar mientras ambos estaban involucrados con Mathematische Annalen , la principal revista matemática de la época, con Hilbert como editor en jefe y Brouwer como miembro de su consejo editorial. En 1920, Hilbert hizo destituir a Brouwer del consejo editorial de Mathematische Annalen .
La controversia comenzó con la axiomatización de la geometría realizada por David Hilbert a finales de la década de 1890. En su biografía de Kurt Gödel , John W. Dawson, Jr , observó que "partidarios de tres posiciones filosóficas principales tomaron parte en el debate" [1] – siendo estos tres los logicistas ( Gottlob Frege y Bertrand Russell ), los formalistas ( David Hilbert y sus colegas), y los constructivistas ( Henri Poincaré y Hermann Weyl ); dentro de esta escuela constructivista se encontraba el radical autodenominado "intuicionista" LEJ Brouwer .
Brouwer fundó la filosofía matemática del intuicionismo como un desafío al formalismo predominante de David Hilbert y sus colegas, Paul Bernays , Wilhelm Ackermann , John von Neumann y otros. [2] Como una variedad de matemáticas constructivas , el intuicionismo es una filosofía de los fundamentos de las matemáticas que rechaza la ley del tercero excluido en el razonamiento matemático.
Después de completar su tesis, Brouwer decidió no compartir su filosofía hasta que hubiera establecido su carrera. En 1910, había publicado varios artículos importantes, en particular el teorema del punto fijo . Hilbert admiraba a Brouwer y le ayudó a conseguir un puesto académico regular en 1912 en la Universidad de Amsterdam. [3] Después de establecerse, Brouwer decidió volver al intuicionismo. [3] A finales de la década de 1920, Brouwer se vio envuelto en una controversia pública con Hilbert sobre la política editorial en Mathematische Annalen , en ese momento una importante revista científica . [4] Quedó relativamente aislado; El desarrollo del intuicionismo en su origen fue retomado por su alumno Arend Heyting .
La naturaleza de la prueba de Hilbert del teorema de la base de Hilbert de 1888 fue controvertida. Aunque Leopold Kronecker , un constructivista, había admitido, Hilbert respondería más tarde a críticas similares de otros de que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental"; en otras palabras (citando a la biógrafa de Hilbert, Constance Reid ): "A través de una prueba de existencia , Hilbert había podido conseguir una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos de la página) era "el objeto". [5]
Brouwer no estaba convencido y, en particular, se opuso al uso de la ley del tercero excluido en conjuntos infinitos. Hilbert respondió: "Tomar del matemático el principio del medio excluido... es lo mismo que... prohibir al boxeador el uso de sus puños". [6]
En un discurso pronunciado en 1927, Hilbert intentó defender su sistema axiomático por tener "un importante significado filosófico general". [1] Hilbert considera que su sistema no admite supuestos tácitos y afirma: "Después de todo, es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y el hábito y protegernos del subjetivismo que... encuentra su culminación en el intuicionismo." [1]
Más adelante en el discurso, Hilbert aborda el rechazo de la ley del tercero excluido : "El desafío más agudo y apasionado del intuicionismo es el que lanza a la validez del principio del tercero excluido..." [1] Rechazar la ley del tercero excluido El medio excluido, extendido sobre el infinito completo de Cantor , implicaba rechazar el sistema axiomático de Hilbert, en particular su "ε-axioma lógico". [2]
Finalmente, Hilbert señaló a Brouwer, más por implicación que por nombre, como la causa de su actual tribulación: "Estoy asombrado de que un matemático dude de que el principio del tercero excluido sea estrictamente válido como modo de inferencia . Estoy aún más asombrado que, al parecer, se ha constituido así toda una comunidad de matemáticos que hacen lo mismo. Lo que más me sorprende es el hecho de que, incluso en los círculos matemáticos, el poder de sugestión de un solo hombre, por muy temperamento e inventivo que esté, es igual. capaz de tener los efectos más improbables y excéntricos." [3]
Brouwer respondió a esto diciendo: "El formalismo no ha recibido más que beneficios del intuicionismo y puede esperar más beneficios. Por lo tanto, la escuela formalista debería otorgar cierto reconocimiento al intuicionismo en lugar de polemizar contra él en tonos burlones sin siquiera observar la mención adecuada de la autoría". [4]
Hasta que Hilbert propuso su formalismo, los axiomas de las matemáticas se elegían sobre una base intuitiva en un intento de utilizar las matemáticas para encontrar la verdad. La lógica aristotélica es un ejemplo de ello: parece "lógico" que un objeto tenga una propiedad declarada (por ejemplo, "Este camión es amarillo") o no tenga esa propiedad ("Este camión no es amarillo"), pero no ambas simultáneamente ( la ley aristotélica de la no contradicción). La forma primitiva del axioma de inducción es otro ejemplo: si un predicado P(n) es verdadero para n = 0 y si para todos los números naturales n, si P(n) es verdadero implica que P(n+1) es verdadero, entonces P(n) es verdadera para todos los números naturales n.
El sistema axiomático de Hilbert es diferente. Al principio declara sus axiomas, [7] y cualquier colección (arbitraria, abstracta) de axiomas es libre de elegirse. Weyl criticó la formalización de Hilbert, diciendo que transformó las matemáticas "de un sistema de resultados intuitivos a un juego con fórmulas que procede de acuerdo con reglas fijas" y preguntó qué podría guiar la elección de estas reglas. Weyl concluyó que "la coherencia es de hecho una condición necesaria pero no suficiente" y afirmó: "Si la visión de Hilbert prevalece sobre el intuicionismo, como parece ser el caso, entonces veo en esto una derrota decisiva de la actitud filosófica de la fenomenología pura , que así demuestra ser ser insuficiente para la comprensión de la ciencia creativa incluso en el área de la cognición más primaria y más abierta a la evidencia: las matemáticas". [8]
Cantor (1897) extendió la noción intuitiva de "el infinito" -un pie colocado tras otro en una marcha interminable hacia el horizonte- a la noción de "un infinito completo" -la llegada "hasta el final, muy lejos". " de un solo golpe, y simbolizó esta noción con un solo signo ℵ 0 (aleph-nulo). La adopción por parte de Hilbert de la noción al por mayor fue "imprudente", alegó Brouwer. Brouwer en sus "Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo" (1927a) afirma: "SEGUNDA IDEA El rechazo del uso irreflexivo del principio lógico del tercero excluido, así como el reconocimiento, en primer lugar, del hecho de que la investigación de la pregunta por qué el principio mencionado está justificado y hasta qué punto es válido constituye un objeto esencial de investigación en los fundamentos de las matemáticas, y, en segundo lugar, del hecho de que en matemáticas intuitivas (contenidos) este principio es válido sólo para sistemas finitos. La identificación del principio del tercero excluido con el principio de solubilidad de todo problema matemático." [9]
Esta Tercera Revelación se refiere al segundo problema de Hilbert y al intento actual de Hilbert de axiomatizar toda la aritmética y, con este sistema, descubrir una "prueba de consistencia" para todas las matemáticas (ver más abajo). Entonces, en esta refriega (iniciada por Poincaré) Brouwer se lanzó de cabeza, con Weyl como respaldo.
Su primera queja (La Segunda Intuición de Brouwer, arriba) surgió de la extensión que hizo Hilbert de la "Ley del Medio Excluido" de Aristóteles (y la "doble negación") -hasta ahora restringida a dominios finitos del discurso aristotélico- a dominios infinitos del discurso [10] ". A finales de la década de 1890, Hilbert axiomatizó la geometría [ 11 ] Luego pasó a utilizar la noción de infinito completo , de inspiración cantoriana , para producir pruebas elegantes y radicalmente abreviadas en el análisis (1896 y años posteriores). Hilbert se creyó justificado en lo que había hecho (a continuación llama a este tipo de prueba prueba de existencia): "...enunciaré un teorema general (1896) sobre formas algebraicas que es un enunciado de existencia puro y por su propia naturaleza no puede transformarse en una declaración que implique constructibilidad. Simplemente mediante el uso de este teorema de existencia evité la argumentación larga y poco clara de Weierstrass y los cálculos altamente complicados de Dedekind, y además, creo, sólo mi prueba descubre la razón interna de la validez de las afirmaciones esbozadas por Gauss [13] y formulado por Weierstrass y Dedekind." [14] "El valor de las pruebas de existencia puras consiste precisamente en que la construcción individual es eliminada por ellas y que muchas construcciones diferentes son subsumidas bajo una idea fundamental, de modo que sólo lo que es esencial para la prueba destaca claramente; la brevedad y la economía de pensamiento son la razón de ser de las pruebas de existencia." [15]
A lo que Hilbert tuvo que renunciar fue a la "constructibilidad". Sus pruebas no producirían "objetos" (excepto las pruebas mismas, es decir, cadenas de símbolos), sino que producirían contradicciones de las premisas y tendrían que proceder por reductio ad absurdum extendida sobre el infinito.
Brouwer consideró que esta pérdida de constructibilidad era mala, pero peor cuando se aplicaba a una "prueba de coherencia" generalizada para todas las matemáticas. En su discurso de 1900, Hilbert había especificado, como segundo de sus 23 problemas para el siglo XX, la búsqueda de una prueba generalizada (procedimiento para determinar) la consistencia de los axiomas de la aritmética. Hilbert, a diferencia de Brouwer, creía que la noción formalizada de inducción matemática podría aplicarse en la búsqueda de la prueba de consistencia generalizada .
Una consecuencia de esta maravillosa prueba/procedimiento P sería la siguiente: dado cualquier teorema matemático arbitrario T (fórmula, procedimiento, prueba) puesto en P (por lo tanto, P(T)), incluido el propio P (por lo tanto, P(P)), P determinar de manera concluyente si el teorema T (y P) era demostrable o no , es decir, derivable a partir de sus premisas, los axiomas de la aritmética. Así, para todo T, T sería demostrable por P o no demostrable por P y en todas las condiciones (es decir, para cualquier asignación de valores numéricos a las variables de T). Esta es una ilustración perfecta del uso de la Ley del Medio Excluido extendida al infinito, de hecho extendida dos veces : primero a todos los teoremas (fórmulas, procedimientos, demostraciones) y segundo a un teorema dado, a todas las asignaciones de sus variables. Este punto, que Hilbert pasó por alto, le fue señalado primero por Poincaré y más tarde por Weyl en sus comentarios de 1927 sobre la conferencia de Hilbert: "Porque, después de todo, a Hilbert tampoco le interesa simplemente, digamos, 0' o 0'', sino con cualquier 0' ... ', con un número arbitrariamente dado concretamente . Aquí se puede enfatizar el "concretamente dado", por otra parte, es igualmente esencial que los argumentos contentuales en la teoría de la prueba se lleven a cabo en generalidad hipotética ; en cualquier prueba, en cualquier número... Me parece que la teoría de la prueba de Hilbert muestra que Poincaré tenía toda la razón en este punto." [dieciséis]
En su discusión anterior a los comentarios de Weyl de 1927, van Heijenoort explica que Hilbert insistió en que había abordado la cuestión de "si una fórmula, tomada como un axioma, conduce a una contradicción, la cuestión es si una prueba que conduce a una contradicción puede presentarse a a mí". [17]
Si tiene éxito, la búsqueda tendría un resultado notable: dada una prueba tan generalizada, todas las matemáticas podrían ser reemplazadas por un autómata que consta de dos partes: (i) un generador de fórmulas para crear fórmulas una tras otra, seguido de (ii) la prueba de coherencia generalizada, que arrojaría "Sí - válido (es decir, demostrable)" o "No - no válido (no demostrable)" para cada fórmula que se le presente (y cada posible asignación de números a sus variables). En otras palabras: las matemáticas dejarían de ser una empresa creativa y se convertirían en una máquina. [19]
En el comentario de van Heijenoort que precede a los "Comentarios sobre la segunda conferencia de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas" de Weyl (1927), Poincaré señala a Hilbert (1905) que hay dos tipos de "inducción" (1) el seguimiento intuitivo del pie con lógica animal. versión del pie que nos da la sensación de que siempre hay otro paso después del último, y (2) la versión formal – por ejemplo, la versión de Peano: una cadena de símbolos. [20] La pandilla de tres – Poincaré, Weyl y Brouwer – afirmó que Hilbert adoptó tácita e injustificadamente como una de sus premisas la inducción formal (la cadena de símbolos de Kleen). Poincaré (1905) afirmó que, al hacer esto, el razonamiento de Hilbert se volvió circular. [21] El acuerdo de Weyl (1927) y las polémicas de Brouwer finalmente obligaron a Hilbert y sus discípulos Herbrand, Bernays y Ackermann a reexaminar su noción de "inducción" - a evitar el supuesto de una "totalidad de todos los objetos x de una colección infinita". y (intuicionistamente) asumir que el argumento general avanza una x tras otra, ad infinitum (van Heijenoort p. 481, nota a pie de página). De hecho, este es el llamado "esquema de inducción" utilizado en la noción de "recursión" que todavía estaba en desarrollo en ese momento (van Heijenoort p. 493). [22] Este esquema era aceptable para los intuicionistas porque se había derivado de "la intuición".
Para llevar esta distinción más allá, Kleene 1952/1977 distingue entre tres tipos de inducción matemática: (1) la regla de inducción formal (axioma de Peano, véase un ejemplo en la siguiente sección); (2) la definición inductiva (ejemplos: conteo, "prueba por inducción"); y (3) la definición por inducción (definición recursiva de "funciones o predicados de teoría de números). Con respecto a (3), Kleene considera funciones recursivas primitivas :
"una teoría intuitiva sobre una cierta clase de funciones y predicados de la teoría de números... En esta teoría, como en metamatemáticas, usaremos sólo métodos finitos.
La serie de los números naturales 0, 0', 0 ' ' , 0 ' ' ' ' , ..., o 0, 1, 2, 3, ... la describimos como la clase de los objetos generados a partir de un objeto primitivo 0 mediante una operación primitiva ' o +1. Esto constituye una definición inductiva de la clase de los números naturales.
La demostración por inducción... corresponde inmediatamente a este modo de generar los números. La definición por inducción (que no debe confundirse con 'definición inductiva'...) es el método análogo para definir una función teórica de números φ(y) o predicado P(y). [Una función o predicado de la teoría de números toma como variables sólo una selección de los números naturales y produce a su vez sólo un único número natural]. Primero se da φ(0) o P(0) (el valor de la función o predicado para 0 como argumento). Entonces, para cualquier número natural y, φ(y') o P(y') (el siguiente valor después de y) se expresa en términos de y y φ(y) o P(y) (el valor de y) . ... Las dos partes de la definición nos permiten, al generar cualquier número natural y, al mismo tiempo determinar el valor φ(y) o P(y)." (p. 217)
La insistencia de Brouwer en la "constructibilidad" en la búsqueda de una "demostración de coherencia para la aritmética" dio lugar a una sensibilidad hacia la cuestión, como se refleja en el trabajo de Finsler y Gödel. [23] En última instancia, Gödel "numeralizaría" sus fórmulas; Luego, Gödel utilizó la recursión primitiva (y su instanciación de la forma intuitiva y constructiva de inducción, es decir, conteo y evaluación paso a paso) en lugar de una cadena de símbolos que representan la inducción formal. Gödel era tan sensible a esta cuestión que se esforzó mucho en su artículo de 1931 en señalar que su Teorema VI (el llamado "Primer teorema de incompletitud") "es constructivo; 45a es decir, lo siguiente ha sido demostrado de manera intuicionista manera inobjetable..." Luego demuestra lo que cree que es la naturaleza constructiva de su "fórmula de generalización" 17 Gen r. La nota a pie de página 45a refuerza su punto.
El artículo de Gödel de 1931 incluye la versión simbólica del formalista del axioma de inducción de Peano; se ve así, donde "." es el AND lógico, f es el signo sucesor, x 2 es una función, x 1 es una variable, x 1 Π designa "para todos los valores de la variable x 1 " y denota implicación:
Pero no parece utilizar esto en el sentido formalista.
Tenga en cuenta que existe cierta controversia en torno a este punto. Gödel especifica esta cadena de símbolos en su I.3., [24] es decir, el axioma inductivo formalizado aparece como se muestra arriba; sin embargo, incluso esta cadena puede "numeralizarse" usando el método de Gödel. Por otra parte, no parece utilizar este axioma. Más bien, su recursividad recorre números enteros asignados a la variable k (ver su (2) en la página 602). Sin embargo, su prueba esquelética del Teorema V "usa la inducción en el grado de φ" y utiliza "la hipótesis de la inducción". Sin una prueba completa de esto, debemos suponer que su uso de la "hipótesis de inducción" es la versión intuitiva, no el axioma simbólico. Su recursividad simplemente aumenta el grado de las funciones, un acto intuitivo, ad infinitum . Pero Nagel y Newman señalan que las pruebas de Gödel son de naturaleza infinita, [25] no finitarias como solicitó Hilbert (ver el segundo problema de Hilbert ), mientras que Gödel insistió en que son intuicionistamente satisfactorias. Éstas no son verdades incompatibles, siempre que no se invoque en ninguna parte de las pruebas la ley del medio excluido sobre el infinito completo.
A pesar de la continua abstracción de las matemáticas durante la última mitad del siglo XX, [26] el problema no ha desaparecido por completo. Aquí hay dos ejemplos. En primer lugar, las premisas de un argumento –incluso las que se consideran más allá de toda duda– siempre son un blanco válido. Una mirada detenida a las premisas del trabajo de Turing de 1936-1937 llevó a Robin Gandy (1980) a proponer sus "principios para mecanismos" que incluyen la velocidad de la luz como una restricción. En segundo lugar, Breger (2000) en su "Conocimiento tácito y progreso matemático" profundiza en la cuestión de "semántica versus sintaxis"; en su artículo Hilbert, Poincaré, Frege y Weyl hacen su aparición. Breger afirma que las pruebas axiomáticas suponen una mente pensante y experimentada. Específicamente, afirma que una mente debe llegar al argumento equipada con un conocimiento previo de los símbolos y su uso (la semántica detrás de la sintaxis sin sentido): "Las matemáticas como un sistema puramente formal de símbolos sin que un ser humano posea el conocimiento para tratarlas". con los símbolos es imposible [según el químico Polanyi (1969, 195), el ideal de una forma de conocimiento que sea estrictamente explícita es contradictorio porque sin el conocimiento tácito todas las fórmulas, palabras e ilustraciones perderían sentido]" (paréntesis en el original, Breger 2000: 229).
Un estudio serio de esta controversia se puede encontrar en la Introducción a las metamatemáticas de Stephen Kleene , particularmente en el Capítulo III: Una crítica del razonamiento matemático. Analiza el §11. Las paradojas , §12. Primeras inferencias de las paradojas [definiciones impredicativas, logicismo, etc.], §13. Intuicionismo , §14. Formalismo , §15. Formalización de una teoría . Kleene se toma el debate en serio y a lo largo de su libro construye los dos "sistemas formales" (por ejemplo, en la página 119 muestra leyes lógicas, como la doble negación, que no están permitidas en el sistema intuicionista).
