Teorema de la base de Hilbert

Los ideales polinomiales se generan de forma finita.

En matemáticas, el teorema de la base de Hilbert afirma que todo ideal de un anillo polinómico sobre un campo tiene un conjunto generador finito (una base finita en la terminología de Hilbert).

En álgebra moderna , los anillos cuyos ideales tienen esta propiedad se denominan anillos noetherianos . Cada campo y el anillo de números enteros son anillos noetherianos. Entonces, el teorema puede generalizarse y reformularse como: todo anillo polinomial sobre un anillo noetheriano también es noetheriano .

El teorema fue expuesto y demostrado por David Hilbert en 1890 en su artículo fundamental sobre teoría de invariantes ^[1] , donde resolvió varios problemas sobre invariantes. En este artículo, demostró también otros dos teoremas fundamentales sobre polinomios, el Nullstellensatz (teorema del lugar cero) y el teorema de la sizigia (teorema de las relaciones). Estos tres teoremas fueron el punto de partida de la interpretación de la geometría algebraica en términos del álgebra conmutativa . En particular, el teorema de la base implica que todo conjunto algebraico es la intersección de un número finito de hipersuperficies .

Otro aspecto de este artículo tuvo un gran impacto en las matemáticas del siglo XX; este es el uso sistemático de métodos no constructivos . Por ejemplo, el teorema de la base afirma que todo ideal tiene un conjunto generador finito, pero la demostración original no proporciona ninguna forma de calcularlo para un ideal específico. Este enfoque fue tan sorprendente para los matemáticos de esa época que la primera versión del artículo fue rechazada por Paul Gordan , el mayor especialista en invariantes de esa época, con el comentario "Esto no es matemática. Esto es teología". ^[2] Más tarde reconoció: "Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos". ^[3]

Declaración

Si es un anillo , denotemos el anillo de polinomios en indeterminado sobre . Hilbert demostró que if "no es demasiado grande", en el sentido de que if es noetheriano, lo mismo debe ser cierto para . Formalmente, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Teorema de la base de Hilbert. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano. ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Corolario. Si es un anillo noetheriano, entonces es un anillo noetheriano. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$

Esto se puede traducir a geometría algebraica de la siguiente manera: cada conjunto algebraico sobre un campo se puede describir como el conjunto de raíces comunes de un número finito de ecuaciones polinómicas. Hilbert demostró el teorema (para el caso especial de anillos polinomiales sobre un campo) durante su demostración de la generación finita de anillos de invariantes . ^[1]

Hilbert produjo una innovadora prueba por contradicción mediante inducción matemática ; su método no proporciona un algoritmo para producir un número finito de polinomios básicos para un ideal dado : sólo muestra que deben existir. Se pueden determinar polinomios de base utilizando el método de bases de Gröbner .

Prueba

Teorema. Si es un anillo noetheriano izquierdo (o derecho) , entonces el anillo polinómico también es un anillo noetheriano izquierdo (o derecho). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Observación. Daremos dos pruebas, en ambas sólo se considera el caso "izquierdo"; la prueba para el caso correcto es similar.

Primera prueba

Supongamos que es un ideal de izquierda no generado de forma finita. Luego, por recursividad (usando el axioma de elección dependiente ) hay una secuencia de polinomios tal que si el ideal izquierdo generado por entonces es de grado mínimo . Por construcción, es una secuencia no decreciente de números naturales . Sea el coeficiente principal de y sea el ideal izquierdo generado por . ¿Cómo es noetheriana la cadena de ideales? ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$

debe terminar. Así, para algún número entero . Entonces en particular, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

Ahora considere

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

cuyo término principal es igual al de ; además, . Sin embargo , lo que significa que tiene grado menor que , contradiciendo la minimalidad. ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$ ${\displaystyle f_{N}}$

Segunda prueba

Sea un ideal de izquierda. Sea el conjunto de coeficientes principales de los miembros de . Obviamente, este es un ideal de izquierda y, por lo tanto, está generado de manera finita por los coeficientes principales de un número finito de miembros de ; decir . Sea el máximo del conjunto y sea el conjunto de coeficientes principales de los miembros de , cuyo grado es . Como antes, se dejan ideales sobre , por lo que se generan de forma finita mediante los coeficientes principales de un número finito de miembros de , digamos ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

con grados . Ahora sea el ideal de izquierda generado por: ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.}$

Tenemos y reclamamos también . Supongamos, en aras de la contradicción, que esto no es así. Entonces sea de grado mínimo y denotemos su coeficiente principal por . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle a}$

Caso 1: . Independientemente de esta condición, tenemos , también lo es una combinación lineal izquierda ${\displaystyle \deg(h)\geq d}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

de los coeficientes de . Considerar ${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

que tiene el mismo término principal que ; además mientras . Por tanto y , lo que contradice la minimalidad. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$ ${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$

Caso 2: . Entonces también lo es una combinación lineal por la izquierda. ${\displaystyle \deg(h)=k<d}$ ${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

de los coeficientes principales de . Considerando ${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$

${\displaystyle h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},}$

obtenemos una contradicción similar a la del Caso 1.

Así se cumple nuestra pretensión, y que se genera de forma finita. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$

Tenga en cuenta que la única razón por la que tuvimos que dividirnos en dos casos fue para asegurarnos de que las potencias de multiplicar los factores no fueran negativas en las construcciones. ${\displaystyle X}$

Aplicaciones

Sea un anillo conmutativo noetheriano . El teorema de la base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos . ${\displaystyle R}$

1. Por inducción vemos que también será noetheriano. ${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. Dado que cualquier variedad afín over (es decir, un conjunto de locus de una colección de polinomios) puede escribirse como el lugar de un ideal y además como el lugar de sus generadores, se deduce que cada variedad afín es el lugar de un número finito de polinomios, es decir la intersección de un número finito de hipersuperficies . ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. Si es un álgebra generada finitamente , entonces sabemos que donde es un ideal. El teorema de la base implica que debe generarse de forma finita, digamos , es decir, presentarse de forma finita . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$ ${\displaystyle A}$

Pruebas formales

Las pruebas formales del teorema de la base de Hilbert se han verificado a través del proyecto Mizar (ver archivo HILBASIS) y Lean (ver ring_theory.polynomial).

Referencias

1. Hilbert, David (1890). "Über die Theorie der algebraischen Formen". Annalen Matemáticas . 36 (4): 473–534. doi :10.1007/BF01208503. ISSN  0025-5831. S2CID  179177713.
2. Reid 1996, pág. 34.
3. Reid 1996, pág. 37.
4. Romano 2008, pag. 136 §5 Teorema 5.9

Otras lecturas

• Cox, Little y O'Shea, Ideales, variedades y algoritmos , Springer-Verlag, 1997.
• Reid, Constanza. (1996). Hilbert. Nueva York: Springer . ISBN 0-387-94674-8.La biografía definitiva en inglés de Hilbert.
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5