En matemáticas , un conjunto generador Γ de un módulo M sobre un anillo R es un subconjunto de M tal que el submódulo más pequeño de M que contiene Γ es el propio M (el submódulo más pequeño que contiene un subconjunto es la intersección de todos los submódulos que contienen el conjunto). Entonces se dice que el conjunto Γ genera M . Por ejemplo, el anillo R es generado por el elemento de identidad 1 como un módulo R izquierdo sobre sí mismo. Si hay un conjunto generador finito , entonces se dice que un módulo está generado finitamente .
Esto se aplica a los ideales , que son los submódulos del propio anillo. En particular, un ideal principal es un ideal que tiene un conjunto generador formado por un solo elemento.
Explícitamente, si Γ es un conjunto generador de un módulo M , entonces cada elemento de M es una R -combinación lineal (finita) de algunos elementos de Γ; es decir, para cada x en M , hay r 1 , ..., r m en R y g 1 , ..., g m en Γ tales que
Dicho de otra manera, hay una sobreyección.
donde escribimos r g para un elemento en el g -ésimo componente de la suma directa. (Casualmente, dado que siempre existe un conjunto generador, por ejemplo, el propio M , esto muestra que un módulo es un cociente de un módulo libre , un hecho útil).
Se dice que un conjunto generador de un módulo es mínimo si ningún subconjunto adecuado del conjunto genera el módulo. Si R es un campo , entonces un conjunto generador mínimo es lo mismo que una base . A menos que el módulo se genere de forma finita , es posible que no exista un conjunto generador mínimo. [1]
La cardinalidad de un conjunto generador mínimo no tiene por qué ser una invariante del módulo; Z es generado como ideal principal por 1, pero también es generado por, digamos, un conjunto generador mínimo {2, 3 }. Lo que está determinado únicamente por un módulo es el mínimo de los números de los generadores del módulo.
Sea R un anillo local con máximo ideal m y campo de residuos k y M módulo finitamente generado. Entonces el lema de Nakayama dice que M tiene un conjunto generador mínimo cuya cardinalidad es . Si M es plano , entonces este conjunto generador mínimo es linealmente independiente (por lo que M es libre). Ver también: Resolución mínima .
Se obtiene una información más refinada si se consideran las relaciones entre los generadores; ver Presentación gratuita de un módulo .
