Número de base invariante

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría de anillos , un anillo R tiene la propiedad del número de base invariante ( IBN ) si todos los módulos izquierdos libres finitamente generados sobre R tienen un rango bien definido. En el caso de los campos , la propiedad IBN se convierte en la afirmación de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión única .

Definición

Un anillo R tiene un número de base invariante (IBN) si para todos los enteros positivos m y n , R ^m isomorfo a R ⁿ (como los módulos R izquierdos ) implica que m = n .

De manera equivalente, esto significa que no existen enteros positivos distintos myn tales que R m sea ^isomorfo a R ⁿ .

Reformulando la definición de número de base invariante en términos de matrices, dice que, siempre que A es una matriz de m por n sobre R y B es una matriz de n por m sobre R tal que AB = I y BA = I , entonces metro = norte . Esta forma revela que la definición es simétrica izquierda-derecha, por lo que no hay diferencia si definimos IBN en términos de módulos izquierdo o derecho; las dos definiciones son equivalentes. ^[1]

Tenga en cuenta que los isomorfismos en las definiciones no son isomorfismos de anillo, son isomorfismos de módulo, incluso cuando uno de n o m es 1.

Propiedades

El objetivo principal de la condición del número de base invariante es que los módulos libres sobre un anillo IBN satisfagan un análogo del teorema de dimensión para espacios vectoriales : dos bases cualesquiera para un módulo libre sobre un anillo IBN tienen la misma cardinalidad. Suponiendo el lema del ultrafiltro (una forma estrictamente más débil del axioma de elección ), este resultado es en realidad equivalente a la definición dada aquí y puede tomarse como una definición alternativa.

El rango de un módulo libre R ⁿ sobre un anillo IBN R se define como la cardinalidad del exponente m de cualquier (y por lo tanto de cada) R -módulo R ^m isomorfo a R ⁿ . Por tanto, la propiedad IBN afirma que cada clase de isomorfismo de R -módulos libres tiene un rango único. El rango no está definido para anillos que no cumplen con el IBN. Para espacios vectoriales, el rango también se llama dimensión . Por lo tanto, el resultado anterior es breve: el rango se define de forma única para todos los módulos R libres si y si se define de forma única para los módulos R libres generados de forma finita .

Ejemplos

Cualquier campo satisface IBN, y esto equivale al hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión bien definida. Además, cualquier anillo conmutativo (excepto el anillo cero ) satisface IBN, ^[2] al igual que cualquier anillo noetheriano izquierdo y cualquier anillo semilocal .

Prueba

Sea A un anillo conmutativo y supongamos que existe un isomorfismo del módulo A. Sea la base canónica de An , lo que significa que son todos ceros excepto uno en la ⁱ - ésima posición. Según el teorema de Krull , sea I un ideal máximo propio de A y . Un morfismo de módulo A significa ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A^{p}}$ ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle e_{i}\in A^{n}}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}}$

${\displaystyle f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})\in I^{p}}$

porque yo soy un ideal. Entonces f induce un morfismo del módulo A / I , que puede demostrarse fácilmente que es un isomorfismo. Dado que A / I es un campo, f' es un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión finita, por lo que n = p . ${\displaystyle f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}}$

Un ejemplo de un anillo distinto de cero que no satisface IBN es el anillo de matrices finitas de columnas , las matrices con coeficientes en un anillo R , con entradas indexadas por y con cada columna teniendo solo un número finito de entradas distintas de cero. Ese último requisito nos permite definir el producto de matrices infinitas MN , dando la estructura de anillo. Un isomorfismo del módulo izquierdo viene dado por: ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{odd columns of }}M,{\text{ even columns of }}M)\end{array}}}$

Este anillo de matriz infinita resulta ser isomorfo a los endomorfismos de un módulo libre derecho sobre R de rango contable . ^[3]

A partir de este isomorfismo, es posible mostrar (abreviando ) que S ≅ S ⁿ para cualquier entero positivo n y, por tanto, S n ^≅ S m ^para dos enteros positivos cualesquiera my n . Hay otros ejemplos de anillos no IBN sin esta propiedad, entre ellos las álgebras de Leavitt. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$

Otros resultados

IBN es una condición necesaria (pero no suficiente) para que un anillo sin divisores de cero pueda integrarse en un anillo de división (compárese el campo de fracciones en el caso conmutativo). Véase también la condición del mineral .

Cada anillo de división no trivial o anillo finito estable tiene un número de base invariante.

Cada anillo que satisfaga la condición de rango (es decir, que tenga un número generador ilimitado) debe tener un número de base invariante. ^[5]

Referencias

1. (Lam 1999, pag.3)
2. "Proyecto Stacks, etiqueta 0FJ7". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 4 de marzo de 2023 .
3. (Hungerford 1980, pag.190)
4. (Abrams y Ánh 2002)
5. (Lam 1999, Proposición 1.22)

Fuentes

• Abrams, gen; Ánh, PN (2002), "Algunas álgebras ultramatriciales que surgen como intersecciones de álgebras de Leavitt", J. Algebra Appl. , 1 (4): 357–363, doi :10.1142/S0219498802000227, ISSN  0219-4988, SEÑOR  1950131

• Hungerford, Thomas W. (1980) [1974], Álgebra , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 73, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xxiii+502, ISBN 0-387-90518-9, SEÑOR  0600654Reimpresión del original de 1974.

• Lam, Tsit Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 189, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xxiv+557, ISBN 0-387-98428-3, señor  1653294