Ideal máximo

Ideal de un anillo no contenido en ningún otro ideal excepto el anillo mismo.

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un ideal máximo es un ideal que es máximo (con respecto a la inclusión de conjuntos ) entre todos los ideales propios . ^{[1] [2]} En otras palabras, I es un ideal máximo de un anillo R si no hay otros ideales contenidos entre I y R.

Los ideales máximos son importantes porque los cocientes de anillos por ideales máximos son anillos simples y, en el caso especial de anillos conmutativos unitales , también son campos .

En la teoría de anillos no conmutativa, un ideal máximo derecho se define de manera análoga como un elemento máximo en el conjunto de ideales derechos propios y, de manera similar, un ideal máximo izquierdo se define como un elemento máximo del conjunto de ideales propios izquierdos. Dado que un ideal máximo unilateral A no es necesariamente bilateral, el cociente R / A no es necesariamente un anillo, sino que es un módulo simple sobre R. Si R tiene un ideal máximo derecho único, entonces R se conoce como anillo local , y el ideal máximo derecho es también el ideal máximo único izquierdo y único máximo bilateral del anillo, y de hecho es el radical de Jacobson J( R ).

Es posible que un anillo tenga un ideal máximo bilateral único y, sin embargo, carezca de ideales máximos unilaterales únicos: por ejemplo, en el anillo de matrices cuadradas de 2 por 2 sobre un campo, el ideal cero es un ideal máximo bilateral. ideal, pero hay muchos ideales de derecho máximo.

Definición

Hay otras formas equivalentes de expresar la definición de ideales máximos unilaterales y máximos bilaterales. Dado un anillo R y un ideal propio I de R (es decir, I ≠ R ), I es un ideal máximo de R si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• No existe otro ideal J de R tal que I ⊊ J .
• Para cualquier J ideal con I ⊆ J , J = I o J = R .
• El anillo cociente R / I es un anillo simple.

Existe una lista análoga para los ideales unilaterales, de los cuales sólo se darán las versiones de la derecha. Para un ideal recto A de un anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes a que A sea un ideal recto máximo de R :

• No existe ningún otro ideal correcto B de R tal que A ⊊ B .
• Para cualquier ideal derecho B con A ⊆ B , B = A o B = R .
• El módulo cociente R / A es un módulo R derecho simple .

Los ideales máximos derecha/izquierda/bilateral son la noción dual de la de ideales mínimos .

Ejemplos

• Si F es un campo, entonces el único ideal máximo es {0}.
• En el anillo Z de números enteros, los ideales máximos son los ideales principales generados por un número primo.
• De manera más general, todos los ideales primos distintos de cero son máximos en un dominio ideal principal .
• El ideal es un ideal máximo en anillo . Generalmente, los ideales máximos de son de la forma donde es un número primo y es un polinomio en el que es módulo irreducible . ${\displaystyle (2,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle (p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle p}$
• Todo ideal primo es un ideal máximo en un anillo booleano, es decir, un anillo que consta únicamente de elementos idempotentes. De hecho, todo ideal primo es máximo en un anillo conmutativo siempre que exista un número entero tal que para cualquiera . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle x^{n}=x}$ ${\displaystyle x\in R}$
• Los ideales máximos del anillo polinomial son ideales principales generados por para algunos . ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ ${\displaystyle x-c}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$
• De manera más general, los ideales máximos del anillo polinómico K [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un campo algebraicamente cerrado K son los ideales de la forma ( x ₁  −  a ₁ , ..., x _n  −  a _n ) . Este resultado se conoce como Nullstellensatz débil .

Propiedades

• Un ideal importante del anillo llamado radical de Jacobson se puede definir utilizando ideales máximos de derecha (o máximos de izquierda).
• Si R es un anillo conmutativo unital con un ideal m , entonces k = R / m es un campo si y sólo si m es un ideal máximo. En ese caso, R / m se conoce como campo residual . Este hecho puede fallar en anillos no unitarios. Por ejemplo, es un ideal máximo en , pero no es un campo. ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$
• Si L es un ideal izquierdo máximo, entonces R / L es un módulo R izquierdo simple . A la inversa, en anillos con unidad, cualquier módulo R izquierdo simple surge de esta manera. Por cierto, esto muestra que una colección de representantes de R -módulos izquierdos simples es en realidad un conjunto , ya que puede ponerse en correspondencia con parte del conjunto de ideales máximos izquierdos de R.
• Teorema de Krull (1929): Todo anillo unital distinto de cero tiene un ideal máximo. El resultado también es cierto si "ideal" se reemplaza por "ideal de derecha" o "ideal de izquierda". De manera más general, es cierto que todo módulo generado finitamente distinto de cero tiene un submódulo máximo. Supongamos que I es un ideal que no es R (respectivamente, A es un ideal correcto que no es R ). Entonces R / I es un anillo con unidad (respectivamente, R / A es un módulo generado finitamente), por lo que los teoremas anteriores se pueden aplicar al cociente para concluir que existe un ideal máximo (respectivamente, ideal máximo derecho) de R que contiene I (respectivamente, A ).
• El teorema de Krull puede fallar en anillos sin unidad. Un anillo radical , es decir, un anillo en el que el radical de Jacobson es el anillo completo, no tiene módulos simples y, por tanto, no tiene ideales máximos de derecha o izquierda. Consulte los ideales habituales para conocer posibles formas de evitar este problema.
• En un anillo conmutativo con unidad, todo ideal máximo es un ideal primo . Lo contrario no siempre es cierto: por ejemplo, en cualquier dominio integral sin campo , el ideal cero es un ideal primo que no es máximo. Los anillos conmutativos en los que los ideales primos son máximos se conocen como anillos de dimensión cero , donde la dimensión utilizada es la dimensión de Krull .
• Un ideal máximo de un anillo no conmutativo podría no ser primo en el sentido conmutativo. Por ejemplo, sea el anillo de todas las matrices sobre . Este anillo tiene un ideal máximo para cualquier primo , pero no es un ideal primo ya que (en el caso ) y no están en , sino . Sin embargo, los ideales máximos de anillos no conmutativos son primos en el sentido generalizado que se describe a continuación. ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$

Generalización

Para un R -módulo A , un submódulo máximo M de A es un submódulo M ≠ A que satisface la propiedad de que para cualquier otro submódulo N , M ⊆ N ⊆ A implica N = M o N = A. De manera equivalente, M es un submódulo máximo si y sólo si el módulo cociente A / M es un módulo simple . Los ideales máximos derechos de un anillo R son exactamente los submódulos máximos del módulo R _R .

A diferencia de los anillos con unidad, un módulo distinto de cero no necesariamente tiene submódulos máximos. Sin embargo, como se señaló anteriormente, los módulos distintos de cero generados finitamente tienen submódulos máximos, y también los módulos proyectivos tienen submódulos máximos.

Al igual que con los anillos, se puede definir el radical de un módulo utilizando submódulos máximos. Además, los ideales máximos se pueden generalizar definiendo un subbimódulo máximo M de un bimódulo B como un subbimódulo propio de M que no está contenido en ningún otro subbimódulo propio de M. Los ideales máximos de R son entonces exactamente los subbimódulos máximos del bimódulo _R R _R .

Ver también

• ideal principal

Referencias

1. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 0-387-95385-X.

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor  1245487
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, señor  1838439