Radical de un módulo

En matemáticas , en la teoría de módulos , el radical de un módulo es un componente de la teoría de la estructura y la clasificación. Es una generalización del radical de Jacobson para anillos . En muchos sentidos, es la noción dual de la de zócalo soc( M ) de M.

Definición

Sea R un anillo y M un módulo izquierdo R . Un submódulo N de M se llama máximo o cosimple si el cociente M / N es un módulo simple . El radical del módulo M es la intersección de todos los submódulos máximos de M ,

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \,\{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of }}M\}}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \,\{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of }}M\}}$

Estas definiciones tienen análogos duales directos para soc( M ).

Propiedades

• Además del hecho de que rad( M ) es la suma de submódulos superfluos, en un módulo noetheriano rad( M ) en sí mismo es un submódulo superfluo .

De hecho, si M se genera finitamente sobre un anillo, entonces rad( M ) en sí mismo es un submódulo superfluo. Esto se debe a que cualquier submódulo propio de M está contenido en un submódulo máximo de M cuando M se genera finitamente.

• Un anillo para el cual rad( M ) = {0} para cada R -módulo recto M se llama anillo V recto .
• Para cualquier módulo M , rad( M /rad( M )) es cero.
• M es un módulo finitamente generado si y sólo si el cosóculo M /rad( M ) es finitamente generado y rad( M ) es un submódulo superfluo de M .

Véase también

• Zócalo (matemáticas)
• Jacobson radical

Referencias

• Alperín, JL ; Rowen B. Bell (1995). Grupos y representaciones . Springer-Verlag . pag. 136.ISBN​ 0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Kent R. Fuller (1992). Anillos y categorías de módulos . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.