Geometría algebraica real

En matemáticas , la geometría algebraica real es la subrama de la geometría algebraica que estudia conjuntos algebraicos reales , es decir, soluciones de números reales a ecuaciones algebraicas con coeficientes de números reales y asignaciones entre ellas (en particular, asignaciones de polinomios reales).

La geometría semialgebraica es el estudio de conjuntos semialgebraicos , es decir, soluciones de números reales a desigualdades algebraicas con coeficientes de números reales y asignaciones entre ellos. Las asignaciones más naturales entre conjuntos semialgebraicos son las asignaciones semialgebraicas, es decir, asignaciones cuyos gráficos son conjuntos semialgebraicos.

Terminología

Hoy en día, las palabras "geometría semialgebraica" y "geometría algebraica real" se utilizan como sinónimos, porque los conjuntos algebraicos reales no pueden estudiarse seriamente sin el uso de conjuntos semialgebraicos. Por ejemplo, una proyección de un conjunto algebraico real a lo largo de un eje de coordenadas no tiene por qué ser un conjunto algebraico real, pero siempre es un conjunto semialgebraico: este es el teorema de Tarski-Seidenberg . ^{[1] [2]} Los campos relacionados son la teoría del mínimo y la geometría analítica real .

Ejemplos: Las curvas planas reales son ejemplos de conjuntos algebraicos reales y los poliedros son ejemplos de conjuntos semialgebraicos. Las funciones algebraicas reales y las funciones de Nash son ejemplos de asignaciones semialgebraicas. Las asignaciones polinómicas por partes (ver la conjetura de Pierce-Birkhoff ) también son asignaciones semialgebraicas.

La geometría algebraica real computacional se ocupa de los aspectos algorítmicos de la geometría algebraica real (y semialgebraica). El algoritmo principal es la descomposición algebraica cilíndrica . Se utiliza para cortar conjuntos semialgebraicos en bonitos trozos y calcular sus proyecciones.

El álgebra real es la parte del álgebra relevante para la geometría algebraica real (y semialgebraica). Se ocupa principalmente del estudio de campos ordenados y anillos ordenados (en particular campos cerrados reales ) y sus aplicaciones al estudio de polinomios positivos y sumas de cuadrados de polinomios . (Véase el problema número 17 de Hilbert y el Positivestellensatz de Krivine .) La relación del álgebra real con la geometría algebraica real es similar a la relación del álgebra conmutativa con la geometría algebraica compleja . Campos relacionados son la teoría de problemas de momentos , la optimización convexa , la teoría de formas cuadráticas , la teoría de la valoración y la teoría de modelos .

Cronología del álgebra real y la geometría algebraica real

• 1826 Algoritmo de Fourier para sistemas de desigualdades lineales. ^[3] Redescubierto por Lloyd Dines en 1919 ^[4] y Theodore Motzkin en 1936. ^[5]
• 1835 Teorema de Sturm sobre el conteo de raíces reales ^[6]
• 1856 Teorema de Hermite sobre el conteo de raíces reales. ^[7]
• 1876 ​​Teorema de la curva de Harnack . ^[8] (Esta limitación del número de componentes se extendió posteriormente a todos los números de Betti de todos los conjuntos algebraicos reales ^{[9] [10] [11]} y a todos los conjuntos semialgebraicos. ^[12] )
• 1888 Teorema de Hilbert sobre cuárticas ternarias. ^[13]
• 1900 Problemas de Hilbert (especialmente los problemas 16 y 17 )
• 1902 Lema de Farkas ^[14] (Puede reformularse como positivstellensatz lineal).
• 1914 Annibale Comessatti demostró que no todas las superficies algebraicas reales son biracionales a RP ^{2 [15]}
• 1916 Conjetura de Fejér sobre polinomios trigonométricos no negativos. ^[16] (Resuelto por Frigyes Riesz . ^[17] )
• 1927 Solución de Emil Artin al problema número 17 de Hilbert ^[18]
• Teorema de Krull-Baer de 1927 ^{[19] [20]} (conexión entre pedidos y valoraciones)
• 1928 Teorema de Pólya sobre polinomios positivos en un simplex ^[21]
• 1929 BL van der Waerden esboza una prueba de que los conjuntos algebraicos y semialgebraicos reales son triangularizables, ^[22] pero no se han desarrollado las herramientas necesarias para hacer que el argumento sea riguroso.
• 1931 Eliminación del cuantificador real de Alfred Tarski . ^[23] Mejorado y popularizado por Abraham Seidenberg en 1954. ^[24] (Ambos utilizan el teorema de Sturm ).
• 1936 Herbert Seifert demostró que toda subvariedad suave cerrada de un paquete normal trivial puede isotoparse a un componente de un subconjunto algebraico real no singular del cual es una intersección completa ^[25] (de la conclusión de este teorema, la palabra "componente" no puede ser eliminado ^[26] ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 1940 Teorema de representación de Marshall Stone para anillos parcialmente ordenados. ^[27] Mejorado por Richard Kadison en 1951 ^[28] y Donald Dubois en 1967 ^[29] (teorema de representación de Kadison-Dubois). Mejorado aún más por Mihai Putinar en 1993 ^[30] y Jacobi en 2001 ^[31] (teorema de representación de Putinar-Jacobi).
• 1952 John Nash demostró que toda variedad suave cerrada es difeomorfa a un componente no singular de un conjunto algebraico real. ^[32]
• 1956 Se formula la conjetura de Pierce-Birkhoff . ^[33] (Resuelto en dimensiones ≤ 2. ^[34] )
• 1964 Nullstellensatz y Positivestellensatz de Krivine . ^[35] Redescubierto y popularizado por Stengle en 1974. ^[36] (Krivine usa eliminación de cuantificadores reales mientras que Stengle usa el teorema de homomorfismo de Lang. ^[37] )
• 1964 Conjuntos semianalíticos triangulados de Lojasiewicz ^[38]
• 1964 Heisuke Hironaka demostró la resolución del teorema de la singularidad ^[39]
• 1964 Hassler Whitney demostró que toda variedad analítica admite una estratificación que satisface las condiciones de Whitney . ^[40]
• 1967 Theodore Motzkin encuentra un polinomio positivo que no es suma de cuadrados de polinomios . ^[41]
• 1972 Vladimir Rokhlin demostró la conjetura de Gudkov . ^[42]
• 1973 Alberto Tognoli demostró que toda variedad suave cerrada es difeomorfa de un conjunto algebraico real no singular. ^[43]
• 1975 George E. Collins descubre el algoritmo de descomposición algebraica cilíndrica , que mejora la eliminación del cuantificador real de Tarski y permite implementarlo en una computadora. ^[44]
• 1973 Jean-Louis Verdier demostró que todo conjunto subanalítico admite una estratificación con condición (w). ^[45]
• 1979 Michel Coste y Marie-Françoise Roy descubren el espectro real de un anillo conmutativo. ^[46]
• 1980 Oleg Viro introdujo la técnica del "trabajo de parches" y la utilizó para clasificar curvas algebraicas reales de bajo grado. ^[47] Más tarde, Ilya Itenberg y Viro lo utilizaron para producir contraejemplos de la conjetura de Ragsdale , ^{[48] [49]} y Grigory Mikhalkin lo aplicó a la geometría tropical para el conteo de curvas. ^[50]
• 1980 Selman Akbulut y Henry C. King dieron una caracterización topológica de conjuntos algebraicos reales con singularidades aisladas y caracterizaron topológicamente conjuntos algebraicos reales no singulares (no necesariamente compactos) ^[51]
• 1980 Akbulut y King demostraron que cada nudo en es el vínculo de un conjunto algebraico real con singularidad aislada en ^[52] ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$
• 1981 Akbulut y King demostraron que toda variedad PL compacta es PL homeomorfa a un conjunto algebraico real. ^{[53] [54] [55]}
• 1983 Akbulut y King introdujeron las "Torres de resolución topológica" como modelos topológicos de conjuntos algebraicos reales, de ahí obtuvieron nuevos invariantes topológicos de conjuntos algebraicos reales y caracterizaron topológicamente todos los conjuntos algebraicos tridimensionales. ^[56] Estas invariantes fueron generalizadas posteriormente por Michel Coste y Krzysztof Kurdyka ^[57], así como por Clint McCrory y Adam Parusiński. ^[58]
• 1984 Teorema de Ludwig Bröcker sobre la generación mínima de conjuntos semialgebraicos abiertos básicos ^[59] (mejorado y ampliado a conjuntos semialgebraicos cerrados básicos por Scheiderer. ^[60] )
• 1984 Benedetti y Dedo demostraron que no todas las variedades suaves cerradas son difeomorfas de un conjunto algebraico real no singular totalmente algebraico (totalmente algebraico significa que todos sus ciclos de homología Z/2Z están representados por subconjuntos algebraicos reales). ^[61]
• 1991 Akbulut y King demostraron que toda variedad suave cerrada es homeomorfa a un conjunto algebraico real totalmente algebraico. ^[62]
• 1991 Solución de Schmüdgen del problema del momento multidimensional para conjuntos semialgebraicos compactos y positivstellensatz estricto relacionado. ^[63] Prueba algebraica encontrada por Wörmann. ^[64] Implica la versión de Reznick del teorema de Artin con denominadores uniformes. ^{[sesenta y cinco]}
• 1992 Akbulut y King probaron versiones ambientales del teorema de Nash-Tognoli: toda subvariedad suave cerrada de R ⁿ es isotópica con respecto a los puntos no singulares (componente) de un subconjunto algebraico real de R ⁿ , y extendieron este resultado a subvariedades sumergidas de R ^n. . ^{[66] [67]}
• 1992 Benedetti y Marin demostraron que cada M compacto, cerrado y liso de 3 variedades se puede obtener mediante una secuencia de subidas y bajadas a lo largo de centros lisos, y que M es homeomorfo a un triple racional algebraico real afín posiblemente singular ^[68] ${\displaystyle S^{3}}$
• 1997 Bierstone y Milman demostraron un teorema de resolución canónica de singularidades ^[69]
• 1997 Mikhalkin demostró que cada n-variedad cerrada y suave se puede obtener mediante una secuencia de subidas y bajadas topológicas ^[70] ${\displaystyle S^{n}}$
• 1998 János Kollár demostró que no toda variedad triple cerrada es una triple real proyectiva que sea biracional a RP ^{3 [71]}
• 2000 Principio local-global de Scheiderer y extensión no estricta relacionada del positivstellensatz de Schmüdgen en dimensiones ≤ 2. ^{[72] [73] [74]}
• 2000 János Kollár demostró que cada colector 3 liso cerrado es la parte real de un colector complejo compacto que se puede obtener mediante una secuencia de explosiones y purgas reales. ^[75] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$
• 2003 Welschinger introduce una invariante para contar curvas racionales reales ^[76]
• 2005 Akbulut y King demostraron que no todos los subconjuntos algebraicos reales no singulares de RP ⁿ son suavemente isotópicos de la parte real de un subconjunto algebraico complejo no singular de CP ^{n [77] [78]}

Referencias

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Notas

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enlaces externos

• El papel de los problemas de Hilbert en la geometría algebraica real (Posdata)
• Servidor de preimpresión de geometría analítica y algebraica real