Krivine-Stengle Positivstellensatz

Teorema de la geometría algebraica real

En geometría algebraica real , Krivine–Stengle Positivstellensatz (en alemán, " teorema del lugar geométrico positivo ") caracteriza a los polinomios que son positivos en un conjunto semialgebraico , que se define por sistemas de desigualdades de polinomios con coeficientes reales o, más generalmente, coeficientes de cualquier cuerpo real cerrado .

Se puede considerar como un análogo real del Nullstellensatz de Hilbert (que se refiere a los ceros complejos de los ideales polinómicos), y esta analogía está en el origen de su nombre. Fue demostrado por el matemático francés Jean-Louis Krivine  [fr; de] y luego redescubierto por el canadiense Gilbert Stengle  [Wikidata] .

Declaración

Sea R un cuerpo real cerrado , y F = { f ₁ , f ₂ , ..., f _m } y G = { g ₁ , g ₂ , ..., g _r } conjuntos finitos de polinomios sobre R en n variables. Sea W el conjunto semialgebraico

${\displaystyle W=\{x\in R^{n}\mid \forall f\in F,\,f(x)\geq 0;\,\forall g\in G,\,g(x)=0\},}$

y definir el preordenamiento asociado con W como el conjunto

${\displaystyle P(F,G)=\left\{\sum _{\alpha \in \{0,1\}^{m}}\sigma _{\alpha }f_{1}^{\alpha _{1}}\cdots f_{m}^{\alpha _{m}}+\sum _{\ell =1}^{r}\varphi _{\ell }g_{\ell }:\sigma _{\alpha }\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots ,X_{n}];\ \varphi _{\ell }\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right\}}$

donde Σ ² [ X ₁ ,..., X _n ] es el conjunto de polinomios de suma de cuadrados . En otras palabras, P ( F , G ) = C + I , donde C es el cono generado por F (es decir, la subsemiconsecuencia de R [ X ₁ ,..., X _n ] generada por F y cuadrados arbitrarios) e I es el ideal generado por G .

Sea p  ∈  R [ X ₁ ,..., X _n ] un polinomio. Krivine-Stengle Positivstellensatz afirma que

(i) si y sólo si y tal que . ${\displaystyle \forall x\in W\;p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle \exists q_{1},q_{2}\in P(F,G)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q_{1}p=p^{2s}+q_{2}}$

(ii) si y sólo si tal que . ${\displaystyle \forall x\in W\;p(x)>0}$ ${\displaystyle \exists q_{1},q_{2}\in P(F,G)}$ ${\displaystyle q_{1}p=1+q_{2}}$

El Positivstellensatz débil es la siguiente variante del Positivstellensatz . Sea R un cuerpo real cerrado, y F , G y H subconjuntos finitos de R [ X ₁ ,..., X _n ]. Sea C el cono generado por F , e I el ideal generado por G . Entonces

${\displaystyle \{x\in R^{n}\mid \forall f\in F\,f(x)\geq 0\land \forall g\in G\,g(x)=0\land \forall h\in H\,h(x)\neq 0\}=\emptyset }$

Si y sólo si

${\displaystyle \exists f\in C,g\in I,n\in \mathbb {N} \;f+g+\left(\prod H\right)^{\!2n}=0.}$

(A diferencia de Nullstellensatz , la forma "débil" en realidad incluye la forma "fuerte" como un caso especial, por lo que la terminología es inapropiada).

Variantes

El Positivstellensatz de Krivine-Stengle también tiene las siguientes mejoras bajo supuestos adicionales. Cabe señalar que el Positivstellensatz de Schmüdgen tiene un supuesto más débil que el Positivstellensatz de Putinar, pero la conclusión también es más débil.

Positivstellensatz de Schmüdgen

Supóngase que . Si el conjunto semialgebraico es compacto , entonces cada polinomio que es estrictamente positivo en puede escribirse como un polinomio en las funciones definitorias de con coeficientes de suma de cuadrados, es decir . Aquí se dice que P es estrictamente positivo en si para todo . ^[1] Nótese que el Positivstellensatz de Schmüdgen se establece para y no se cumple para cuerpos reales cerrados arbitrarios. ^[2] ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle W=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \forall f\in F,\,f(x)\geq 0\}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p\in P(F,\emptyset )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p(x)>0}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$

El mensaje positivo de Putin

Defina el módulo cuadrático asociado a W como el conjunto

${\displaystyle Q(F,G)=\left\{\sigma _{0}+\sum _{j=1}^{m}\sigma _{j}f_{j}+\sum _{\ell =1}^{r}\varphi _{\ell }g_{\ell }:\sigma _{j}\in \Sigma ^{2}[X_{1},\ldots ,X_{n}];\ \varphi _{\ell }\in \mathbb {R} [X_{1},\ldots ,X_{n}]\right\}}$

Supongamos que existe L  > 0 tal que el polinomio Si para todo , entonces p ∈ Q ( F , G ). ^[3] ${\displaystyle L-\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\in Q(F,G).}$ ${\displaystyle p(x)>0}$ ${\displaystyle x\in W}$

Véase también

• Polinomio positivo para otros teoremas de ecuaciones positivas.
• Sentencia de nulidad real

Notas

1. Schmüdgen, Konrad [en alemán] (1991). "El problema del momento K para conjuntos semialgebraicos compactos". Annalen Matemáticas . 289 (1): 203–206. doi :10.1007/bf01446568. ISSN  0025-5831.
2. Stengle, Gilbert (1996). "Estimaciones de complejidad para Schmüdgen Positivstellensatz". Revista de Complejidad . 12 (2): 167-174. doi : 10.1006/jcom.1996.0011 .
3. Putinar, Mihai (1993). "Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos compactos". Indiana University Mathematics Journal . 42 (3): 969–984. doi : 10.1512/iumj.1993.42.42045 .

Referencias

• Krivine, JL (1964). "Anneaux préordonnés". Revista de Análisis Matemático . 12 : 307–326. doi :10.1007/bf02807438. S2CID  189771756.
• Stengle, G. (1974). "Un Nullstellensatz y un Positivstellensatz en geometría semialgebraica". Annalen Matemáticas . 207 (2): 87–97. doi :10.1007/BF01362149. S2CID  122939347.
• Bochnak, J.; Coste, M.; Roy, M.-F. (1999). Geometría algebraica real . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge. vol. 36. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64663-1.
• Jeyakumar, V.; Lasserre, JB; Li, G. (18 de julio de 2014). "Sobre la optimización polinomial sobre conjuntos semialgebraicos no compactos". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 163 (3): 707–718. CiteSeerX  10.1.1.771.2203 . doi :10.1007/s10957-014-0545-3. ISSN  0022-3239. S2CID  254745314.