Polinomio positivo

En matemáticas , un polinomio positivo (o no negativo ) de un conjunto particular es un polinomio cuyos valores son positivos (o no negativos) en ese conjunto. Precisamente, Sea un polinomio en variables con coeficientes reales y sea un subconjunto del espacio euclidiano de dimensión . Decimos que: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle p}$es positivo en si para cada en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle p}$no es negativo en si para cada en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

Positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

Para ciertos conjuntos , existen descripciones algebraicas de todos los polinomios que son positivos (o no negativos) en . Dicha descripción es un teorema de optimización positiva (o no negativa ). La importancia de los teoremas de optimización positiva en computación surge de su capacidad para transformar problemas de optimización polinómica en problemas de programación semidefinida , que pueden resolverse de manera eficiente utilizando técnicas de optimización convexa . ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos de positivstellensatz (y nichtnegativstellensatz)

• Polinomios globalmente positivos y descomposición en suma de cuadrados .
  • Todo polinomio real en una variable es no negativo en si y solo si es una suma de dos cuadrados de polinomios reales en una variable. ^[2] Esta equivalencia no se generaliza para polinomios con más de una variable: por ejemplo, el polinomio de Motzkin es no negativo en pero no es una suma de cuadrados de elementos de . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]}$
  • Un polinomio real en variables no es negativo en si y sólo si es una suma de cuadrados de funciones racionales reales en variables (véase el decimoséptimo problema de Hilbert y la solución de Artin ^[4] ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$
  • Supóngase que es homogéneo de grado par. Si es positivo en , entonces existe un entero tal que es una suma de cuadrados de elementos de . ^[5] ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$
• Polinomios positivos en politopos .
  • Para polinomios de grado tenemos la siguiente variante del lema de Farkas : Si tienen grado y para cada que satisface , entonces existen números reales no negativos tales que . ${\displaystyle {}\leq 1}$ ${\displaystyle f,g_{1},\dots ,g_{k}}$ ${\displaystyle {}\leq 1}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}}$ ${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}}$
  • Teorema de Pólya: ^[6] Si es homogéneo y es positivo en el conjunto , entonces existe un entero tal que tiene coeficientes no negativos. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x_{1}+\cdots +c_{n})^{m}p}$
  • Teorema de Handelman: ^[7] Si es un politopo compacto en el espacio euclidiano, definido por desigualdades lineales , y si es un polinomio en variables que es positivo en , entonces puede expresarse como una combinación lineal con coeficientes no negativos de productos de miembros de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle g_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{g_{i}\}}$
• Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos .
  • El resultado más general es el Positivstellensatz de Stengle .
  • Para conjuntos semialgebraicos compactos tenemos el positivstellensatz de Schmüdgen , ^{[8] [9]} el positivstellensatz de Putinar ^{[10] [11]} y el positivstellensatz de Vasilescu. ^[12] El punto aquí es que no se necesitan denominadores.
  • Para conjuntos semialgebraicos compactos de baja dimensión, existe un conjunto no negativo sin denominadores. ^{[13] [14] [15]}

Generalizaciones de positivstellensatz

También existen ecuaciones positivas para signomios , ^[16] polinomios trigonométricos , ^[17] matrices polinómicas , ^[18] polinomios en variables libres, ^[19] polinomios cuánticos, ^[20] y funciones definibles en estructuras o-minimales . ^[21]

Notas

1. Optimización semidefinida y geometría algebraica convexa. Grigoriy Blekherman, Pablo A. Parrilo, Rekha R. Thomas. Filadelfia. 2013. ISBN 978-1-61197-228-3.OCLC 809420808  .{{cite book}}: CS1 maint: falta la ubicación del editor ( enlace ) CS1 maint: otros ( enlace )
2. Benoist, Olivier (2017). "Escritura de polinomios positivos como sumas de (pocos) cuadrados". Boletín EMS . 2017–9 (105): 8–13. doi : 10.4171/NEWS/105/4 . ISSN  1027-488X.
3. TS Motzkin, La desigualdad aritmético-geométrica. Desigualdades de 1967 (Proc. Sympos. Base de la Fuerza Aérea Wright-Patterson, Ohio, 1965) págs. 205-224.
4. E. Artin , Uber die Zerlegung definidor Funktionen in Quadrate, Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo, 5 (1927), 85–99.
5. B. Reznick, Denominadores uniformes en el decimoséptimo problema de Hilbert. Math. Z. 220 (1995), núm. 1, 75–97.
6. G. Pólya, Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, en: R. P. Boas (Ed.), Collected Papers vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, págs. 309–313.
7. D. Handelman, Representación de polinomios mediante funciones lineales positivas en poliedros convexos compactos. Pacific J. Math. 132 (1988), núm. 1, 35–62.
8. K. Schmüdgen. "El problema del momento K para conjuntos semialgebraicos compactos". Math. Ann. 289 (1991), núm. 2, 203–206.
9. T. Wörmann. "Polinomo positivo Strikt in der Semialgebraischen Geometrie", Univ. Dortmund 1998.
10. M. Putinar, "Polinomios positivos en conjuntos semialgebraicos compactos". Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), núm. 3, 969–984.
11. T. Jacobi, "Un teorema de representación para ciertos anillos conmutativos parcialmente ordenados". Math. Z. 237 (2001), núm. 2, 259–273.
12. Vasilescu, F.-H. "Medidas espectrales y problemas de momento". Análisis espectral y sus aplicaciones, 173–215, Theta Ser. Adv. Math. , 2, Theta, Bucarest, 2003. Véase el teorema 1.3.1.
13. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados de funciones regulares en variedades algebraicas reales". Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), núm. 3, 1039–1069.
14. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en curvas algebraicas reales". Math. Z. 245 (2003), núm. 4, 725–760.
15. C. Scheiderer, "Sumas de cuadrados en superficies algebraicas reales". Manuscripta Math. 119 (2006), núm. 4, 395–410.
16. Dressler, Mareike; Murray, Riley (31 de diciembre de 2022). "Perspectivas algebraicas sobre optimización signomial". Revista SIAM de álgebra y geometría aplicadas . 6 (4): 650–684. arXiv : 2107.00345 . doi :10.1137/21M1462568. ISSN  2470-6566. S2CID  235694320.
17. Dumitrescu, Bogdan (2007). "Positivstellensatz para polinomios trigonométricos y pruebas de estabilidad multidimensional". IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs . 54 (4): 353–356. doi :10.1109/TCSII.2006.890409. ISSN  1558-3791. S2CID  38131072.
18. Cimprič, J. (2011). "Condiciones positivas estrictas para polinomios matriciales con restricciones escalares". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 434 (8): 1879–1883. arXiv : 1011.4930 . doi : 10.1016/j.laa.2010.11.046 . S2CID  119169153.
19. Helton, J. William; Klep, Igor; McCullough, Scott (2012). "El Positivstellensatz convexo en un álgebra libre". Avances en Matemáticas . 231 (1): 516–534. arXiv : 1102.4859 . doi : 10.1016/j.aim.2012.04.028 .
20. Klep, Igor (31 de diciembre de 2004). "El positivstellensatz graduado no conmutativo". Communications in Algebra . 32 (5): 2029–2040. doi :10.1081/AGB-120029921. ISSN  0092-7872. S2CID  120795025.
21. Acquistapace, F.; Andradas, C.; Broglia, F. (1 de julio de 2002). "El Positivstellensatz para funciones definibles en estructuras o-minimal". Illinois Journal of Mathematics . 46 (3). doi : 10.1215/ijm/1258130979 . ISSN  0019-2082. S2CID  122451112.

Lectura adicional

• Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. Geometría Algebraica Real . Traducido del original francés de 1987. Revisado por los autores. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], 36. Springer-Verlag, Berlín, 1998. ISBN 3-540-64663-9 . 
• Marshall, Murray. "Polinomios positivos y sumas de cuadrados". Mathematical Surveys and Monographs , 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4402-1 , ISBN 0-8218-4402-4 .  

Véase también

• SOS polinomial
• El decimoséptimo problema de Hilbert
• Nullstellensatz de Hilbert para descripciones algebraicas de polinomios que son cero en un conjunto S.