Matriz polinómica

En matemáticas , una matriz polinómica o matriz de polinomios es una matriz cuyos elementos son polinomios univariados o multivariados . De manera equivalente, una matriz polinómica es un polinomio cuyos coeficientes son matrices.

Una matriz polinomial univariante P de grado p se define como:

${\displaystyle P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)x+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}}$

donde denota una matriz de coeficientes constantes y no es cero. Ejemplo de matriz polinómica 3×3 de grado 2: ${\displaystyle A(i)}$ ${\displaystyle A(p)}$

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$

Podemos expresar esto diciendo que para un anillo R , los anillos y son isomorfos . ${\displaystyle M_{n}(R[X])}$ ${\displaystyle (M_{n}(R))[X]}$

Propiedades

• Una matriz polinómica sobre un cuerpo cuyo determinante es igual a un elemento distinto de cero de ese cuerpo se denomina unimodular y tiene una inversa que también es una matriz polinómica. Nótese que los únicos polinomios unimodulares escalares son polinomios de grado 0 – constantes distintas de cero, porque la inversa de un polinomio arbitrario de grado superior es una función racional.
• Las raíces de una matriz polinomial sobre números complejos son los puntos en el plano complejo donde la matriz pierde rango .
• El determinante de un polinomio matricial con coeficientes hermíticos positivos definidos (semidefinidos) es un polinomio con coeficientes positivos (no negativos). ^[1]

Tenga en cuenta que las matrices polinómicas no deben confundirse con las matrices monomiales , que son simplemente matrices con exactamente una entrada distinta de cero en cada fila y columna.

Si por λ denotamos cualquier elemento del cuerpo sobre el que construimos la matriz, por I la matriz identidad, y dejamos que A sea una matriz polinómica, entonces la matriz λ I  −  A es la matriz característica de la matriz A . Su determinante, |λ I  −  A | es el polinomio característico de la matriz  A .

Referencias

1. Friedland, S.; Melman, A. (2020). "Una nota sobre polinomios matriciales semidefinidos positivos hermíticos". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 598 : 105–109. doi :10.1016/j.laa.2020.03.038.

• Krishnamurthy, EV (1985). Cálculos de matrices polinómicas sin errores . Springer. doi :10.1007/978-1-4612-5118-7. OCLC  858879932.