El decimoséptimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert que figuran en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Se trata de la expresión de funciones racionales definidas positivas como sumas de cocientes de cuadrados . La pregunta original puede reformularse como:
La pregunta de Hilbert puede restringirse a polinomios homogéneos de grado par, ya que un polinomio de grado impar cambia de signo y la homogeneización de un polinomio toma sólo valores no negativos si y sólo si lo mismo es cierto para el polinomio.
La formulación de la pregunta tiene en cuenta que existen polinomios no negativos , por ejemplo [1]
que no puede representarse como suma de cuadrados de otros polinomios . En 1888, Hilbert demostró que todo polinomio homogéneo no negativo en n variables y grado 2 d puede representarse como suma de cuadrados de otros polinomios si y solo si (a) n = 2 o (b) 2 d = 2 o (c) n = 3 y 2 d = 4. [2] La prueba de Hilbert no exhibió ningún contraejemplo explícito: solo en 1967 Motzkin construyó el primer contraejemplo explícito . [3] Además, si el polinomio tiene un grado 2 d mayor que dos, hay significativamente muchos más polinomios no negativos que no pueden expresarse como sumas de cuadrados. [4]
La siguiente tabla resume en qué casos cada polinomio homogéneo no negativo (o un polinomio de grado par) puede representarse como una suma de cuadrados:
El caso particular de n = 2 ya fue resuelto por Hilbert en 1893. [5] El problema general fue resuelto afirmativamente, en 1927, por Emil Artin , [6] para funciones semidefinidas positivas sobre los reales o más generalmente cuerpos reales-cerrados . Una solución algorítmica fue encontrada por Charles Delzell en 1984. [7] Un resultado de Albrecht Pfister [8] muestra que una forma semidefinida positiva en n variables puede ser expresada como una suma de 2 n cuadrados. [9]
Dubois demostró en 1967 que la respuesta es negativa en general para cuerpos ordenados . [10] En este caso se puede decir que un polinomio positivo es una suma de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos. [11] McKenna demostró en 1975 que todos los polinomios semidefinidos positivos con coeficientes en un cuerpo ordenado son sumas de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos sólo si el cuerpo es denso en su clausura real en el sentido de que cualquier intervalo con puntos finales en la clausura real contiene elementos del cuerpo original. [12]
Gondard, Ribenboim [13] y Procesi, Schacher [14] dieron una generalización al caso de matrices (matrices con entradas de funciones polinómicas que son siempre semidefinidas positivas pueden expresarse como suma de cuadrados de matrices simétricas con entradas de funciones racionales) con una prueba elemental dada por Hillar y Nie [15] .
Es una pregunta abierta cuál es el número más pequeño
de modo que cualquier polinomio no negativo de grado d y n variables puede escribirse como suma de funciones racionales cuadradas sobre los números reales. Un límite superior establecido por Pfister en 1967 es: [8]
En la otra dirección, se puede derivar un límite inferior condicional a partir de la teoría de la complejidad computacional . Una instancia de n variables de 3-SAT se puede realizar como un problema de positividad en un polinomio con n variables y d=4 . Esto demuestra que la prueba de positividad es NP-Hard . Más precisamente, suponiendo que la hipótesis del tiempo exponencial es verdadera, .
En el análisis complejo, el análogo hermítico, que requiere que los cuadrados sean normas al cuadrado de aplicaciones holomorfas, es algo más complicado, pero cierto para polinomios positivos por un resultado de Quillen. [16] El resultado de Pfister, por otro lado, falla en el caso hermítico, es decir, no hay límite en el número de cuadrados requeridos, véase D'Angelo–Lebl. [17]
