Jules Richard (12 de agosto de 1862 - 14 de octubre de 1956) fue un matemático francés que trabajó principalmente en geometría, pero su nombre se asocia más comúnmente con la paradoja de Richard .
Richard nació en Blet , en el departamento de Cher .
Enseñó en los liceos de Tours , Dijon y Châteauroux . Obtuvo su doctorado, a los 39 años, en la Facultad de Ciencias de París . Su tesis de 126 páginas trata sobre la superficie ondulatoria de Fresnel. Richard trabajó principalmente sobre los fundamentos de las matemáticas y la geometría, en relación con las obras de Hilbert , von Staudt y Méray .
En un tratado más filosófico sobre la naturaleza de los axiomas de la geometría, Richard analiza y rechaza los siguientes principios básicos:
Este último enfoque fue, en esencia, el propuesto por Kant . Richard llegó a la conclusión de que la noción de identidad de dos objetos y la invariabilidad de un objeto son demasiado vagas y deben especificarse con mayor precisión. Esto debería hacerse mediante axiomas.
Los axiomas son proposiciones cuya tarea es hacer precisa la noción de identidad de dos objetos preexistentes en nuestra mente.
Según Richard, el objetivo de la ciencia es explicar el universo material. Y aunque la geometría no euclidiana no había encontrado ninguna aplicación ( Albert Einstein terminó su teoría general de la relatividad recién en 1915), Richard ya afirmó clarividentemente:
Se ve que, habiendo admitido la noción de ángulo, uno es libre de elegir la noción de línea recta de tal manera que una u otra de las tres geometrías sea verdadera.
Richard mantuvo correspondencia con Giuseppe Peano y Henri Poincaré . Se hizo conocido por más de un pequeño grupo de especialistas al formular su paradoja, que fue ampliamente utilizada por Poincaré para atacar la teoría de conjuntos, tras lo cual los defensores de la teoría de conjuntos tuvieron que refutar estos ataques.
Murió en 1956 en Châteauroux , en el departamento de Indre , a la edad de 94 años.
La paradoja fue enunciada por primera vez en 1905 en una carta a Louis Olivier, director de la Revue générale des sciences pures et appliquées . Fue publicada en 1905 en el artículo Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles . Los Principia Mathematica de Alfred North Whitehead y Bertrand Russell la citan junto con otras seis paradojas relativas al problema de la autorreferencia. En uno de los compendios más importantes de lógica matemática, compilado por Jean van Heijenoort, el artículo de Richard está traducido al inglés. La paradoja puede interpretarse como una aplicación del argumento diagonal de Cantor . Inspiró a Kurt Gödel y Alan Turing para sus famosas obras. Kurt Gödel consideró su teorema de incompletitud como análogo a la paradoja de Richard que, en la versión original , dice lo siguiente:
Sea E el conjunto de los números reales que se pueden definir mediante un número finito de palabras. Este conjunto es numerable. Sea p el n- ésimo decimal del n- ésimo número del conjunto E ; formamos un número N que tiene cero por parte entera y p + 1 por n -ésimo decimal, si p no es igual a 8 ni a 9, y a la unidad en el caso contrario. Este número N no pertenece al conjunto E porque difiere de cualquier número de este conjunto, es decir, del n -ésimo número por la n- ésima cifra. Pero N ha sido definido mediante un número finito de palabras. Por tanto, debería pertenecer al conjunto E . Esto es una contradicción.
Richard nunca presentó su paradoja de otra forma, pero existen varias versiones diferentes, algunas de las cuales están muy vagamente relacionadas con el original. Para completar, podemos mencionarlas aquí.
(A) La versión dada en Principia Mathematica por Whitehead y Russell es similar a la versión original de Richard, pero no tan exacta. Aquí sólo se reemplaza el dígito 9 por el dígito 0, de modo que identidades como 1,000... = 0,999... pueden estropear el resultado.
(B) La paradoja de Berry , mencionada por primera vez en los Principia Mathematica como la quinta de siete paradojas, se atribuye al Sr. GG Berry de la Biblioteca Bodleian. Utiliza el menor entero no nombrable en menos de diecinueve sílabas ; de hecho, en inglés denota 111.777. Pero "el menor entero no nombrable en menos de diecinueve sílabas" es en sí mismo un nombre que consta de dieciocho sílabas; por lo tanto, el menor entero no nombrable en menos de diecinueve sílabas puede ser nombrado en dieciocho sílabas, lo cual es una contradicción.
(C) La paradoja de Berry con letras en lugar de sílabas se relaciona a menudo con el conjunto de todos los números naturales que pueden definirse con menos de 100 (o cualquier otro número grande) letras. Como los números naturales son un conjunto bien ordenado, debe haber un número mínimo que no pueda definirse con menos de 100 letras . Pero este número se definió simplemente con 65 letras, incluidos los espacios.
(D) La paradoja de König también fue publicada en 1905 por Julius König . Todos los números reales que pueden definirse mediante un número finito de palabras forman un subconjunto de los números reales. Si los números reales pueden ordenarse correctamente, entonces debe haber un primer número real (según este orden) que no pueda definirse mediante un número finito de palabras. Pero el primer número real que no puede definirse mediante un número finito de palabras acaba de ser definido mediante un número finito de palabras.
(E) El número natural más pequeño sin propiedades interesantes adquiere una propiedad interesante por esta misma falta de propiedades interesantes.
(F) Un préstamo de la Paradoja de Grelling y Nelson . El número de todas las definiciones finitas es contable. En orden léxico obtenemos una secuencia de definiciones D 1 , D 2 , D 3 , ... Ahora, puede suceder que una definición defina su propio número. Este sería el caso si D 1 se leyera "el número natural más pequeño". Puede suceder que una definición no describa su propio número. Este sería el caso si D 2 se leyera "el número natural más pequeño". También la oración "esta definición no describe su número" es una definición finita. Sea D n . ¿ Es n descrito por D n ? Si es sí, entonces no, y si no, entonces sí. El dilema es irresoluble. (Esta versión se describe con más detalle en otro artículo, La paradoja de Richard .)
Georg Cantor escribió en una carta a David Hilbert :
En esto se equivoca Cantor. Hoy sabemos que hay una cantidad incontable de números reales sin posibilidad de una definición finita.
Ernst Zermelo comenta el argumento de Richard:
Zermelo señala la razón por la que la paradoja de Richard falla. Sin embargo, su última afirmación es imposible de satisfacer. Un número real con una cantidad infinita de dígitos, que no están determinados por ninguna "regla", tiene un contenido de información infinitamente grande. Tal número solo podría identificarse por un nombre corto si existiera solo uno o pocos de ellos. Si existen incontables, como es el caso, la identificación es imposible.
