Cero de una función

Punto donde el valor de la función es cero.

En matemáticas , un cero (también llamado a veces raíz ) de una función real , compleja o generalmente vectorial es miembro del dominio de tal que desaparece en ; es decir, la función alcanza el valor de 0 en , o equivalentemente, es una solución de la ecuación . ^[1] Un "cero" de una función es, por tanto, un valor de entrada que produce una salida de 0. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Una raíz de un polinomio es un cero de la función polinómica correspondiente . ^[1] El teorema fundamental del álgebra muestra que cualquier polinomio distinto de cero tiene un número de raíces como máximo igual a su grado , y que el número de raíces y el grado son iguales cuando se consideran las raíces complejas (o más generalmente, las raíces complejas). raíces en una extensión algebraicamente cerrada ) contadas con sus multiplicidades . ^[3] Por ejemplo, el polinomio de grado dos, definido por tiene las dos raíces (o ceros) que son 2 y 3 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6}$

$${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ and }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

Si la función asigna números reales a números reales, entonces sus ceros son las coordenadas de los puntos donde su gráfica se encuentra con el eje x . Un nombre alternativo para tal punto en este contexto es -intercepción . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$

Solución de una ecuación

Toda ecuación en la incógnita se puede reescribir como ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

reagrupando todos los términos del lado izquierdo. De ello se deduce que las soluciones de dicha ecuación son exactamente los ceros de la función . En otras palabras, un "cero de una función" es precisamente una "solución de la ecuación obtenida igualando la función a 0", y el estudio de los ceros de funciones es exactamente igual que el estudio de las soluciones de ecuaciones. ${\displaystyle f}$

Raíces polinómicas

Todo polinomio real de grado impar tiene un número impar de raíces reales (contando multiplicidades ); Asimismo, un polinomio real de grado par debe tener un número par de raíces reales. En consecuencia, los polinomios reales impares deben tener al menos una raíz real (porque el número entero impar más pequeño es 1), mientras que los polinomios pares pueden no tener ninguna. Este principio se puede probar con referencia al teorema del valor intermedio : dado que las funciones polinómicas son continuas , el valor de la función debe cruzar cero, en el proceso de cambiar de negativo a positivo o viceversa (lo que siempre sucede con funciones impares).

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado tiene raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios con coeficientes reales vienen en pares conjugados . ^[2] Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes de un polinomio con sumas y productos de sus raíces. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Raíces informáticas

Calcular raíces de funciones, por ejemplo funciones polinómicas , frecuentemente requiere el uso de técnicas especializadas o de aproximación (por ejemplo, el método de Newton ). Sin embargo, algunas funciones polinómicas, incluidas todas aquellas de grado no mayor a 4, pueden tener todas sus raíces expresadas algebraicamente en términos de sus coeficientes (para más información, consulte solución algebraica ).

puesta a cero

En diversas áreas de las matemáticas, el conjunto cero de una función es el conjunto de todos sus ceros. Más precisamente, si es una función con valor real (o, más generalmente, una función que toma valores en algún grupo aditivo ), su conjunto de ceros es , la imagen inversa de in . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Bajo la misma hipótesis sobre el codominio de la función, un conjunto de niveles de una función es el conjunto cero de la función para algunos en el codominio de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f.}$

El conjunto cero de una aplicación lineal también se conoce como su núcleo .

El conjunto cocero de la función es el complemento del conjunto cero de (es decir, el subconjunto de on es distinto de cero). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

En geometría algebraica , la primera definición de variedad algebraica es a través de conjuntos de ceros. Específicamente, un conjunto algebraico afín es la intersección de los conjuntos de ceros de varios polinomios, en un anillo polinómico sobre un campo . En este contexto, un conjunto cero a veces se denomina lugar geométrico cero . ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

En análisis y geometría , cualquier subconjunto cerrado de es el conjunto cero de una función suave definida en todos . Esto se extiende a cualquier variedad suave como corolario de la paracompacidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En geometría diferencial , los conjuntos de ceros se utilizan con frecuencia para definir variedades . Un caso especial importante es el caso de que se trate de una función fluida de a . Si cero es un valor regular de , entonces el conjunto cero de es una variedad suave de dimensión según el teorema del valor regular . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m=p-n}$

Por ejemplo, la unidad - esfera en es el conjunto cero de la función de valor real . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

Ver también

• teorema de marden
• Algoritmo de búsqueda de raíces
• La conjetura de Sendov.
• Desaparecer en el infinito
• No hay paso
• Ceros y polos

Referencias

1. "Álgebra: ceros/raíces de polinomios". tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición clásica). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 535.ISBN _ 0-13-165711-9.
3. "Raíces y ceros (Álgebra 2, funciones polinómicas)". Planeta matemático . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .

Otras lecturas

• Weisstein, Eric W. "Raíz". MundoMatemático .