Sumersión (matemáticas)

Mapa diferencial entre variedades cuyo diferencial es en todas partes sobreyectivo

En matemáticas , una inmersión es un mapa diferenciable entre variedades diferenciables cuyo diferencial es en todas partes sobreyectivo . Este es un concepto básico en topología diferencial . La noción de inmersión es dual a la noción de inmersión .

Definición

Sean M y N variedades diferenciables y un mapa diferenciable entre ellas. El mapa f es una inmersión en un punto si su diferencial ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

es un mapa lineal sobreyectivo . ^[1] En este caso p se llama punto regular del mapa f , en caso contrario, p es un punto crítico . Un punto es un valor regular de f si todos los puntos p en la preimagen son puntos regulares. Un mapa diferenciable f que es una inmersión en cada punto se llama inmersión . De manera equivalente, f es una inmersión si su diferencial tiene un rango constante igual a la dimensión de N. ${\displaystyle q\in N}$ ${\displaystyle f^{-1}(q)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle Df_{p}}$

Una advertencia: algunos autores utilizan el término punto crítico para describir un punto donde el rango de la matriz jacobiana de f en p no es máximo. ^[2] De hecho, esta es la noción más útil en la teoría de la singularidad . Si la dimensión de M es mayor o igual que la dimensión de N entonces estas dos nociones de punto crítico coinciden. Pero si la dimensión de M es menor que la dimensión de N , todos los puntos son críticos según la definición anterior (el diferencial no puede ser sobreyectivo), pero el rango del jacobiano aún puede ser máximo (si es igual a M tenue ). La definición dada anteriormente es la más comúnmente utilizada; por ejemplo, en la formulación del teorema de Sard .

Teorema de inmersión

Dada una inmersión entre variedades suaves de dimensiones y , para cada una hay cartas sobreyectivas de alrededor y de alrededor , tales que se restringe a una inmersión que, cuando se expresa en coordenadas como , se convierte en una proyección ortogonal ordinaria . Como aplicación, para cada una de las fibras correspondientes de , denotadas se puede equipar con la estructura de una subcolectora lisa cuya dimensión es igual a la diferencia de las dimensiones de y . ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon U\to V}$ ${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

El teorema es una consecuencia del teorema de la función inversa (ver Teorema de la función inversa # Dar una estructura múltiple ).

Por ejemplo, considere dada por La matriz jacobiana es ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Esto tiene rango máximo en todos los puntos excepto en . Además, las fibras ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

están vacíos para e iguales a un punto cuando . Por lo tanto, solo tenemos una inmersión suave y los subconjuntos son variedades suaves bidimensionales para . ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$ ${\displaystyle t>0}$

Ejemplos

• Cualquier proyección ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• Difomorfismos locales
• Inmersiones riemannianas
• La proyección en un paquete de vectores suaves o una fibración suave más general . La sobreyectividad del diferencial es una condición necesaria para la existencia de una trivialización local .

Mapas entre esferas

Una gran clase de ejemplos de inmersiones son las sumersiones entre esferas de dimensiones superiores, como

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

cuyas fibras tienen dimensión . Esto se debe a que las fibras (imágenes inversas de elementos ) son variedades suaves de dimensión . Entonces, si tomamos un camino ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p\in S^{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

y tomar el retroceso

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

tenemos un ejemplo de un tipo especial de bordismo , llamado bordismo enmarcado. De hecho, los grupos de cobordismo enmarcado están íntimamente relacionados con los grupos de homotopía estable . ${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$

Familias de variedades algebraicas.

Otra gran clase de inmersiones está dada por familias de variedades algebraicas cuyas fibras son variedades algebraicas suaves. Si consideramos las variedades subyacentes de estas variedades, obtenemos variedades suaves. Por ejemplo, la familia de curvas elípticas de Weierstauss es una inmersión ampliamente estudiada porque incluye muchas complejidades técnicas utilizadas para demostrar teorías más complejas, como la homología de intersección y las gavillas perversas . Esta familia está dada por ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}$

donde es la recta afín y es el plano afín. Dado que estamos considerando variedades complejas, estos son equivalentemente los espacios de la recta compleja y del plano complejo. Tenga en cuenta que en realidad deberíamos eliminar los puntos porque hay singularidades (ya que hay una raíz doble). ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle t=0,1}$

Forma normal local

Si f : M → N es una inmersión en p y f ( p ) = q ∈ N , entonces existe una vecindad abierta U de p en M , una vecindad abierta V de q en N y coordenadas locales ( x ₁ , … , x _m ) en p y ( x ₁ , …, x _n ) en q tal que f ( U ) = V , y el mapa f en estas coordenadas locales es la proyección estándar

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

De ello se deduce que la preimagen completa f ⁻¹ ( q ) en M de un valor regular q en N bajo un mapa diferenciable f : M → N está vacía o es una variedad diferenciable de dimensión dim M − dim N , posiblemente desconectada . Este es el contenido del teorema del valor regular (también conocido como teorema de la inmersión ). En particular, la conclusión es válida para todo q en N si el mapa f es una inmersión.

Inmersiones topológicas múltiples

Las sumersiones también están bien definidas para variedades topológicas generales . ^[3] Una inmersión topológica múltiple es una sobreyección continua f  : M → N tal que para todo p en M , para algunos gráficos continuos ψ en p y φ en f(p) , el mapa ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ es igual al mapa de proyección de R ^m a R ⁿ , donde m = dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

Ver también

• Teorema de fibración de Ehresmann

Notas

1. Crampin y Pirani 1994, pág. 243. do Carmo 1994, p. 185. Frankel 1997, pág. 181. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 12. Kosinski 2007, pág. 27. Lang 1999, pág. 27. Sternberg 2012, pág. 378.
2. Arnold, Gusein-Zade y Varchenko 1985.
3. Lang 1999, pag. 27.

Referencias

• Arnold, Vladimir I .; Gusein-Zade, Sabir M .; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularidades de mapas diferenciables: Volumen 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
• Bruce, James W.; Giblin, Peter J. (1984). Curvas y Singularidades . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42999-4. SEÑOR  0774048.
• Crampín, Michael; Pirani, Félix Arnold Edward (1994). Geometría diferencial aplicable . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Geometría Riemanniana . ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Frankel, Theodore (1997). La Geometría de la Física . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-38753-1. SEÑOR  1481707.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría de Riemann (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Colectores diferenciales . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de Geometría Diferencial . Textos de Posgrado en Matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Curvatura en Matemáticas y Física . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47855-5.

Otras lecturas

• https://mathoverflow.net/questions/376129/cuáles-son-las-condiciones-suficientes-y-necesarias-para-submersiones-surjetivas-a-b?rq=1