Inmersión riemanniana

En geometría diferencial , una rama de las matemáticas , una inmersión riemanniana es una inmersión de una variedad riemanniana a otra que respeta la métrica, lo que significa que es una proyección ortogonal sobre espacios tangentes.

Definición formal

Sean ( M , g ) y ( N , h ) dos variedades de Riemann y una inmersión (sobreyectiva), es decir, una variedad fibrada . La distribución horizontal es un subfibrado del fibrado tangente de , que depende tanto de la proyección como de la métrica . ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle K:=\mathrm {ker} (df)^{\perp }}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Entonces, f se llama una inmersión riemanniana si y sólo si, para todo , el isomorfismo del espacio vectorial es isométrico, es decir, preserva la longitud. ^[1] ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle (df)_{x}:K_{x}\rightarrow T_{f(x)}N}$

Ejemplos

Un ejemplo de inmersión riemanniana surge cuando un grupo de Lie actúa de forma isométrica, libre y apropiada sobre una variedad riemanniana . La proyección al espacio cociente equipado con la métrica cociente es una inmersión riemanniana. Por ejemplo, la multiplicación componente por componente de por el grupo de números complejos unitarios produce la fibración de Hopf . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \pi :M\rightarrow N}$ ${\displaystyle N=M/G}$ ${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

Propiedades

La curvatura seccional del espacio objetivo de una inmersión riemanniana se puede calcular a partir de la curvatura del espacio total mediante la fórmula de O'Neill , llamada así por Barrett O'Neill :

${\displaystyle K_{N}(X,Y)=K_{M}({\tilde {X}},{\tilde {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\tilde {X}},{\tilde {Y}}]^{V}|^{2}}$

donde están los campos vectoriales ortonormales en , sus elevaciones horizontales a , es el corchete de Lie de los campos vectoriales y es la proyección del campo vectorial a la distribución vertical . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tilde {X}},{\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [*,*]}$ ${\displaystyle Z^{V}}$ ${\displaystyle Z}$

En particular, el límite inferior para la curvatura seccional de es al menos tan grande como el límite inferior para la curvatura seccional de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Generalizaciones y variaciones

• Haz de fibras
• Submetria
• Mapa de Co-Lipschitz

Véase también

• Colector de fibra
• Topología geométrica
• Colector

Notas

1. Gilkey, Peter B.; Leahy, John V.; Park, Jeonghyeong (1998), Spinors, Spectral Geometry, and Riemannian Sumersions, Centro de Investigación de Análisis Global, Universidad Nacional de Seúl, págs. 4-5

Referencias

• Gilkey, Peter B.; Leahy, John V.; Park, Jeonghyeong (1998), Espinores, geometría espectral y sumersiones de Riemann, Centro de Investigación de Análisis Global, Universidad Nacional de Seúl.
• Barrett O'Neill. Las ecuaciones fundamentales de una inmersión. Michigan Math. J. 13 (1966), 459–469. doi :10.1307/mmj/1028999604