Una solución en radicales o solución algebraica es una expresión de forma cerrada , y más específicamente una expresión algebraica de forma cerrada , es decir, la solución de una ecuación polinómica , y se basa únicamente en la suma , resta , multiplicación , división , elevación a potencias enteras, y la extracción de raíces n- ésimas (raíces cuadradas, raíces cúbicas y otras raíces enteras).
Un ejemplo bien conocido es la solución.
de la ecuación cuadrática
Existen soluciones algebraicas más complicadas para ecuaciones cúbicas [1] y ecuaciones cuárticas . [2] El teorema de Abel-Ruffini , [3] : 211 y, más generalmente , la teoría de Galois , afirman que algunas ecuaciones quinticas , como
no tiene ninguna solución algebraica. Lo mismo ocurre con todos los grados superiores. Sin embargo, para cualquier grado existen algunas ecuaciones polinomiales que tienen soluciones algebraicas; por ejemplo, la ecuación se puede resolver como Las otras ocho soluciones son números complejos no reales , que también son algebraicos y tienen la forma donde r es una raíz quinta de la unidad , que se puede expresar con dos raíces cuadradas anidadas . Consulte también Función quíntica § Otras quínticas solubles para ver otros ejemplos en el grado 5.
Évariste Galois introdujo un criterio que permite decidir qué ecuaciones se pueden resolver en radicales. Consulte Extensión radical para conocer la formulación precisa de su resultado.
Las soluciones algebraicas forman un subconjunto de expresiones de forma cerrada , porque estas últimas permiten funciones trascendentales (funciones no algebraicas) como la función exponencial , la función logarítmica y las funciones trigonométricas y sus inversas.
![{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685464ac5a9ee481b1eaea4e3077295eaa876fc2)
![{\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280ec5745504f0316e7edcf240579cb60cd9202)