Función implícita

En matemáticas , una ecuación implícita es una relación de la forma donde $R$ es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Una función implícita es una función que se define mediante una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las otras consideradas como los argumentos . ^[1]^{: 204–206} Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define $y$ como una función implícita de $x$ si $-1 \leq$ $x$ $\leq 1$ , e $y$ está restringida a valores no negativos. $x^{2}+y^{2}-1=0$

El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de ecuaciones implícitas definen funciones implícitas, es decir, aquellas que se obtienen al igualar a cero funciones multivariables que son continuamente diferenciables .

Ejemplos

Funciones inversas

Un tipo común de función implícita es una función inversa . No todas las funciones tienen una función inversa única. Si $g$ es una función de $x$ que tiene una inversa única, entonces la función inversa de $g$ , llamada $g -1$ , es la única función que da una solución de la ecuación.

y=g(x)

para $x$ en función de $y$ . Esta solución puede entonces escribirse como

x=g^{-1}(y)\,.

Definir $g -1$ como la inversa de $g$ es una definición implícita. Para algunas funciones $g$ , $g -1 (y)$ se puede escribir explícitamente como una expresión de forma cerrada ; por ejemplo, si $g (x) = 2 x - 1$ , entonces $g −1 ( y ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ( y + 1)$ . Sin embargo, esto a menudo no es posible, o solo se logra introduciendo una nueva notación (como en el ejemplo del registro del producto a continuación).

Intuitivamente, se obtiene una función inversa de $g$ intercambiando los roles de las variables dependiente e independiente.

Ejemplo: El logaritmo del producto es una función implícita que da la solución para $x$ de la ecuación $y - xe x = 0$ .

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son en sí mismos polinomios. Por ejemplo, una función algebraica en una variable $x$ da una solución para $y$ de una ecuación

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

donde los coeficientes $a i (x)$ son funciones polinómicas de $x$ . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la ecuación solución $y = f (x)$ . Escrita así, $f$ es una función implícita de múltiples valores .

Las funciones algebraicas desempeñan un papel importante en el análisis matemático y la geometría algebraica . Un ejemplo simple de una función algebraica se da en el lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Resolviendo $y$ obtenemos una solución explícita:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Pero incluso sin especificar esta solución explícita, es posible referirse a la solución implícita de la ecuación del círculo unitario como $y = f (x)$ , donde $f$ es la función implícita multivaluada.

Si bien se pueden encontrar soluciones explícitas para ecuaciones que son cuadráticas , cúbicas y cuárticas en $y$ , lo mismo no es cierto en general para ecuaciones de quinto grado y de grado superior, como

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Sin embargo, todavía se puede hacer referencia a la solución implícita $y = f (x)$ que involucra la función implícita multivaluada $f$ .

Advertencias

No todas las ecuaciones $R (x, y) = 0$ implican un gráfico de una función univaluada, siendo la ecuación del círculo un ejemplo destacado. Otro ejemplo es una función implícita dada por $x - C (y) = 0$ donde $C$ es un polinomio cúbico que tiene una "joroba" en su gráfico. Por lo tanto, para que una función implícita sea una función verdadera (univaluada) puede ser necesario utilizar solo una parte del gráfico. A veces, una función implícita puede definirse correctamente como una función verdadera solo después de "acercar" alguna parte del eje $x$ y "cortar" algunas ramas de función no deseadas. Luego, se puede escribir una ecuación que exprese $y como una función implícita de las otras variables.$

La ecuación definitoria $R (x, y) = 0$ también puede tener otras patologías. Por ejemplo, la ecuación $x = 0$ no implica una función $f (x)$ que dé soluciones para $y$ en absoluto; es una línea vertical. Para evitar un problema como este, con frecuencia se imponen diversas restricciones sobre los tipos de ecuaciones permisibles o sobre el dominio . El teorema de la función implícita proporciona una forma uniforme de manejar este tipo de patologías.

Diferenciación implícita

En cálculo , un método llamado diferenciación implícita utiliza la regla de la cadena para diferenciar funciones definidas implícitamente.

Para diferenciar una función implícita $y (x)$ , definida por una ecuación $R (x, y) = 0$ , generalmente no es posible resolverla explícitamente para $y$ y luego diferenciarla. En cambio, uno puede diferenciar totalmente $R (x, y) = 0$ con respecto a $x$ e $y$ y luego resolver la ecuación lineal resultante para $⁠$ $morir / Dx ⁠$ para obtener explícitamente la derivada en términos de $x$ e $y$ . Incluso cuando es posible resolver explícitamente la ecuación original, la fórmula resultante de la diferenciación total es, en general, mucho más simple y fácil de usar.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerar

y+x+5=0\,.

Esta ecuación es fácil de resolver para $y$ , dando

y=-x-5\,,

donde el lado derecho es la forma explícita de la función $y (x)$ . La diferenciación entonces da $⁠$ $morir / Dx ⁠ = -1$ .

Alternativamente, se puede diferenciar totalmente la ecuación original:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Resolviendo para $⁠$ $morir / Dx ⁠$ da

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

La misma respuesta que obtenida anteriormente.

Ejemplo 2

Un ejemplo de una función implícita para la cual la diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función $y (x)$ definida por la ecuación

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Para diferenciar esto explícitamente con respecto a $x$ , primero hay que obtener

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

y luego derivamos esta función. Esto crea dos derivadas: una para $y \geq 0$ y otra para $y < 0$ .

Es sustancialmente más fácil diferenciar implícitamente la ecuación original:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

donación

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Ejemplo 3

A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente $y$ , y la diferenciación implícita es el único método de diferenciación factible. Un ejemplo es la ecuación

y^{5}-y=x\,.

Es imposible expresar algebraicamente $y$ explícitamente como una función de $x$ y, por lo tanto, no se puede $encontrar$ $morir / Dx ⁠$ por diferenciación explícita. Utilizando el método implícito, $⁠$ $morir / Dx ⁠$ se puede obtener diferenciando la ecuación para obtener

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

donde $⁠$ $Dx / Dx ⁠ = 1$ . Factorizando $⁠$ $morir / Dx ⁠$ demuestra que

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

Lo cual da como resultado

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

que se define para

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Fórmula general para la derivada de una función implícita

Si $R (x, y) = 0$ , la derivada de la función implícita $y (x)$ está dada por ^[2]^{: §11.5}

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

donde $R x$ y $R y$ indican las derivadas parciales de $R$ con respecto a $x$ e $y$ .

La fórmula anterior proviene del uso de la regla de la cadena generalizada para obtener la derivada total —con respecto a $x—$ de ambos lados de $R (x, y) = 0$ :

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

por eso

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

que, cuando se resuelve para $⁠$ $morir / Dx ⁠$ , da la expresión anterior.

Teorema de la función implícita

Sea $R (x, y)$ una función diferenciable de dos variables, y $(a, b)$ un par de números reales tales que $R (a, b) = 0$ . Si $⁠$ $\partial R / \partial y ⁠ \neq 0$ , entonces $R (x, y) = 0$ define una función implícita que es diferenciable en algún entorno suficientemente pequeño de $(a, b)$ ; en otras palabras, hay una función diferenciable $f$ que está definida y es diferenciable en algún entorno de $a$ , tal que $R (x, f (x)) = 0$ para $x$ en este entorno.

La condición $⁠$ $\partial R / \partial y ⁠ \neq 0$ significa que $(a, b)$ es un punto regular de la curva implícita de la ecuación implícita $R (x, y) = 0$ donde la tangente no es vertical.

En un lenguaje menos técnico, existen funciones implícitas y pueden diferenciarse, si la curva tiene una tangente no vertical. ^[2]^{: §11.5}

En geometría algebraica

Considérese una relación de la forma $R (x 1, \dots, x n) = 0$ , donde $R$ es un polinomio multivariable. El conjunto de los valores de las variables que satisfacen esta relación se denomina curva implícita si $n = 2$ y superficie implícita si $n = 3$ . Las ecuaciones implícitas son la base de la geometría algebraica , cuyos objetos básicos de estudio son las soluciones simultáneas de varias ecuaciones implícitas cuyos lados izquierdos son polinomios. Estos conjuntos de soluciones simultáneas se denominan conjuntos algebraicos afines .

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales generalmente aparecen expresadas por una función implícita. ^[3]

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En economía , cuando el conjunto de niveles $R (x, y) = 0$ es una curva de indiferencia para las cantidades $x$ e $y$ consumidas de dos bienes, el valor absoluto de la derivada implícita $⁠$ $morir / Dx ⁠$ se interpreta como la relación marginal de sustitución de los dos bienes: cuánto más de $y$ se debe recibir para ser indiferente a una pérdida de una unidad de $x$ .

Tasa marginal de sustitución técnica

De manera similar, a veces el conjunto de niveles $R (L, K)$ es una isocuanta que muestra varias combinaciones de cantidades utilizadas $L$ de trabajo y $K$ de capital físico, cada una de las cuales daría como resultado la producción de la misma cantidad dada de producción de algún bien. En este caso, el valor absoluto de la derivada implícita $⁠$ $es / El L ⁠$ se interpreta como la tasa marginal de sustitución técnica entre los dos factores de producción: cuánto capital más debe utilizar la empresa para producir la misma cantidad de producción con una unidad menos de trabajo.

Mejoramiento

A menudo, en la teoría económica , se maximiza alguna función, como una función de utilidad o una función de beneficio , con respecto a un vector de elección $x,$ aunque la función objetivo no se haya restringido a ninguna forma funcional específica. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden de la optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo $x *$ del vector de elección $x$ . Cuando se maximiza el beneficio, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de demanda de trabajo y las funciones de oferta de varios bienes. Cuando se maximiza la utilidad, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de oferta de trabajo y las funciones de demanda de varios bienes.

Además, la influencia de los parámetros del problema en $x *$ —las derivadas parciales de la función implícita— puede expresarse como derivadas totales del sistema de condiciones de primer orden encontrado usando la diferenciación total .

Véase también

Referencias

^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (tercera edición). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ ab Stewart, James (1998). Conceptos y contextos del cálculo . Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.
^ Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

Lectura adicional

Binmore, KG (1983). "Funciones implícitas". Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Boston: McGraw-Hill . Págs. 223-228. ISBN. 0-07-054235-X.
Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Funciones implícitas y sus derivadas". Matemáticas para economistas . Nueva York: WW Norton. págs. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

Enlaces externos

Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: "Diferenciación implícita, ¿qué está pasando aquí?". 3Blue1Brown . Essence of Calculus. 3 de mayo de 2017 – vía YouTube .