Expresión algebraica

Type of mathematical expression using basic operations (+, -, ×, ÷, powers, and roots)

En matemáticas , una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes (generalmente, números racionales o algebraicos ), variables y las operaciones algebraicas básicas : suma (+), resta (-), multiplicación (×), división (÷), potencias de números enteros y raíces ( potencias fraccionarias ). ^{[1] [2] [3] [ se necesita una mejor fuente ]} . Por ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , lo siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Una ecuación algebraica es una ecuación que involucra polinomios , para la cual las expresiones algebraicas pueden ser soluciones .

Si restringe su conjunto de constantes a números , cualquier expresión algebraica puede llamarse expresión aritmética . Sin embargo, las expresiones algebraicas se pueden usar en objetos más abstractos, como en Álgebra abstracta . Si restringe sus constantes a números enteros , el conjunto de números que se pueden describir con una expresión algebraica se denomina Números algebraicos .

Por el contrario, los números trascendentales como π y e no son algebraicos, ya que no se derivan de constantes enteras ni de operaciones algebraicas. Por lo general, π se construye como una relación geométrica y la definición de e requiere un número infinito de operaciones algebraicas. De manera más general, las expresiones que son algebraicamente independientes de sus constantes y/o variables se denominan trascendentales .

Terminología

El álgebra tiene su propia terminología para describir partes de una expresión:

1 – Exponente (potencia), 2 – coeficiente, 3 – término, 4 – operador, 5 – constante, - variables ${\displaystyle x,y}$

Convenciones

Variables

Por convención, las letras al principio del alfabeto (por ejemplo, ) se utilizan normalmente para representar constantes , y las que están hacia el final del alfabeto (por ejemplo, y ) se utilizan para representar variables . ^[4] Por lo general, se escriben en cursiva. ^[5] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Exponentes

Por convención, los términos con la mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escribe a la izquierda de . Cuando un coeficiente es uno, normalmente se omite (por ejemplo, se escribe ). ^[6] Asimismo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo, se escribe ), ^[7] y, cuando el exponente es cero, el resultado siempre es 1 (por ejemplo, se escribe , ya que siempre es ). ^[8] ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle 3x^{0}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 1}$

En raíces de polinomios

Las raíces de una expresión polinómica de grado n , o equivalentemente las soluciones de una ecuación polinómica , siempre se pueden escribir como expresiones algebraicas si n < 5 (véase fórmula cuadrática , función cúbica y ecuación cuártica ). Una solución de una ecuación de este tipo se denomina solución algebraica . Pero el teorema de Abel-Ruffini establece que no existen soluciones algebraicas para todas esas ecuaciones (solo para algunas de ellas) si n 5. ${\displaystyle \geq }$

Expresiones racionales

Dados dos polinomios ⁠ ⁠ ${\displaystyle P(x)}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q(x)}$ , su cociente se llama expresión racional o simplemente fracción racional . ^{[9] [10] [11]} Una expresión racional se llama propia si , e impropia en caso contrario. Por ejemplo, la fracción es propia y las fracciones y son impropias. Cualquier fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio (posiblemente constante) y una fracción racional propia. En el primer ejemplo de fracción impropia se tiene ${\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \deg P(x)<\deg Q(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

donde el segundo término es una fracción racional propia. La suma de dos fracciones racionales propias también es una fracción racional propia. El proceso inverso de expresar una fracción racional propia como la suma de dos o más fracciones se llama resolverla en fracciones parciales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Aquí, los dos términos de la derecha se llaman fracciones parciales.

Fracción irracional

Una fracción irracional es aquella que contiene la variable bajo un exponente fraccionario. ^[12] Un ejemplo de fracción irracional es

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

El proceso de transformar una fracción irracional en una fracción racional se conoce como racionalización . Toda fracción irracional en la que los radicales son monomios se puede racionalizar hallando el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces y sustituyendo la variable por otra variable con el mínimo común múltiplo como exponente. En el ejemplo dado, el mínimo común múltiplo es 6, por lo tanto podemos sustituir para obtener ${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Expresiones algebraicas y otras expresiones matemáticas

La siguiente tabla resume cómo las expresiones algebraicas se comparan con varios otros tipos de expresiones matemáticas según el tipo de elementos que pueden contener, según convenciones comunes pero no universales.

Una expresión algebraica racional (o expresión racional ) es una expresión algebraica que se puede escribir como un cociente de polinomios , como x ² + 4 x + 4 . Una expresión algebraica irracional es una que no es racional, como √ x + 4 .

Véase también

• Función algebraica
• Expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Expresión (matemáticas)
• Precálculo
• Término (lógica)

Notas

1. Definición de "Función algebraica" Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine en la Enciclopedia de Ciencias de Internet de David J. Darling
2. Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de ciencia y tecnología de Academic Press . Gulf Professional Publishing. pág. 74. expresión algebraica sobre un campo.
3. "operación algebraica | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
4. William L. Hosch (editor), Guía británica de álgebra y trigonometría , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, página 71 
5. James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 183] 
6. David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra , Editorial John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 páginas, página 72 
7. John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Editorial Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 31 
8. Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Álgebra para estudiantes universitarios , Editorial Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 páginas, página 222 
9. Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra. American Mathematical Society. pág. 131. ISBN 9780821883945.
10. Gupta, Parmanand. Matemáticas integrales XII. Laxmi Publications. pág. 739. ISBN 9788170087410.
11. Lal, Bansi (2006). Temas de cálculo integral. Laxmi Publications. pág. 53. ISBN 9788131800027.
12. McCartney, Washington (1844). Los principios del cálculo diferencial e integral; y su aplicación a la geometría. pág. 203.

Referencias

• James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas. Springer. pág. 8. ISBN 9780412990410.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Expresión algebraica". MathWorld .