Función de valor real

Función matemática que toma valores reales

La masa medida en gramos es una función de este conjunto de pesos con respecto a los números reales positivos . El término " función de peso ", en alusión a este ejemplo, se utiliza en matemáticas puras y aplicadas.

En matemáticas, una función de valor real es una función cuyos valores son números reales . En otras palabras, es una función que asigna un número real a cada miembro de su dominio .

Las funciones de valor real de una variable real (comúnmente llamadas funciones reales ) y las funciones de valor real de varias variables reales son el principal objeto de estudio del cálculo y, de manera más general, del análisis real . En particular, muchos espacios de funciones están constituidos por funciones de valor real.

Estructura algebraica

Sea el conjunto de todas las funciones de un conjunto X hasta los números reales . Como es un cuerpo , se puede convertir en un espacio vectorial y en un álgebra conmutativa sobre los reales con las siguientes operaciones: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$– suma de vectores
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$– identidad aditiva
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$– multiplicación escalar
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$– multiplicación puntual

Estas operaciones se extienden a funciones parciales de X a con la restricción de que las funciones parciales f + g y f g están definidas sólo si los dominios de f y g tienen una intersección no vacía; en este caso, su dominio es la intersección de los dominios de f y g . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Además, dado que es un conjunto ordenado, existe un orden parcial. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

en el que se forma un anillo parcialmente ordenado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

Mensurable

El σ-álgebra de los conjuntos de Borel es una estructura importante en los números reales. Si X tiene su σ-álgebra y una función f es tal que la preimagen f  ⁻¹ ( B ) de cualquier conjunto de Borel B pertenece a esa σ-álgebra, entonces se dice que f es medible . Las funciones mesurables también forman un espacio vectorial y un álgebra como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica.

Además, un conjunto (familia) de funciones de valor real en X puede definir en realidad una σ-álgebra en X generada por todas las preimágenes de todos los conjuntos de Borel (o solo de intervalos , no es importante). Así es como surgen las σ-álgebras en la teoría de probabilidad ( de Kolmogorov ) , donde las funciones de valor real en el espacio muestral Ω son variables aleatorias de valor real .

Continuo

Los números reales forman un espacio topológico y un espacio métrico completo . Las funciones reales continuas (lo que implica que X es un espacio topológico) son importantes en las teorías de espacios topológicos y de espacios métricos . El teorema de los valores extremos establece que para cualquier función real continua en un espacio compacto existen su máximo y mínimo globales .

El concepto de espacio métrico se define con una función de dos variables de valor real, la métrica , que es continua. El espacio de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto tiene una importancia particular. Las sucesiones convergentes también pueden considerarse funciones continuas de valor real en un espacio topológico especial.

Las funciones continuas también forman un espacio vectorial y un álgebra como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica, y son una subclase de funciones medibles porque cualquier espacio topológico tiene el σ-álgebra generada por conjuntos abiertos (o cerrados).

Liso

Los números reales se utilizan como codominio para definir funciones suavizadas. Un dominio de una función suavizada real puede ser el espacio de coordenadas real (que produce una función multivariable real ), un espacio vectorial topológico , ^[1] un subconjunto abierto de ellos o una variedad suavizada .

Los espacios de funciones suaves también son espacios vectoriales y álgebras como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica y son subespacios del espacio de funciones continuas.

Apariciones en la teoría de la medida

Una medida en un conjunto es una función real no negativa en un σ-álgebra de subconjuntos. ^[2] Los espacios L p en conjuntos con una medida se definen a partir de las funciones medibles reales mencionadas anteriormente, aunque en realidad son espacios cociente . Más precisamente, mientras que una función que satisface una condición de sumabilidad apropiada define un elemento del espacio L ^p , en la dirección opuesta para cualquier f ∈ L ^p ( X ) y x ∈ X que no sea un átomo , el valor f ( x ) no está definido . Sin embargo, los espacios L ^p de valor real aún tienen algo de la estructura descrita anteriormente en § Estructura algebraica. Cada uno de los espacios L ^p es un espacio vectorial y tiene un orden parcial, y existe una multiplicación puntual de "funciones" que cambia p , a saber:

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

Por ejemplo, el producto puntual de dos funciones L ² pertenece a L ¹ .

Otras apariciones

Otros contextos en los que se utilizan funciones de valores reales y sus propiedades especiales incluyen funciones monótonas (en conjuntos ordenados ), funciones convexas (en espacios vectoriales y afines ), funciones armónicas y subarmónicas (en variedades de Riemann ), funciones analíticas (generalmente de una o más variables reales), funciones algebraicas (en variedades algebraicas reales ) y polinomios (de una o más variables reales).

Véase también

• Análisis real
• Ecuaciones diferenciales parciales , un importante usuario de funciones de valores reales
• Norma (matemáticas)
• Escalar (matemáticas)

Notas al pie

1. En general existen diferentes definiciones de derivada , pero para dimensiones finitas dan como resultado definiciones equivalentes de clases de funciones suaves.
2. En realidad, una medida puede tener valores en [0, +∞] : ver línea de números reales extendida .

Referencias

• Apostol, Tom M. (1974). Análisis matemático (2.ª ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Gerald Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Función real". MathWorld .