Anillo parcialmente ordenado

Anillo con pedido parcial compatible

En álgebra abstracta , un anillo parcialmente ordenado es un anillo ( A , +, · ), junto con un orden parcial compatible , es decir, un orden parcial en el conjunto subyacente A que es compatible con las operaciones del anillo en el sentido de que satisface: y para todo . ^[1] Existen varias extensiones de esta definición que restringen el anillo, el orden parcial o ambos. Por ejemplo, un anillo parcialmente ordenado de Arquímedes es un anillo parcialmente ordenado donde el grupo aditivo parcialmente ordenado de es Arquímedes . ^[2] ${\displaystyle \,\leq \,}$ $${\displaystyle x\leq y{\text{ implies }}x+z\leq y+z}$$ $${\displaystyle 0\leq x{\text{ and }}0\leq y{\text{ imply that }}0\leq x\cdot y}$$ ${\displaystyle x,y,z\in A}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle A}$

Un anillo ordenado , también llamado anillo totalmente ordenado , es un anillo parcialmente ordenado donde además hay un orden total . ^{[1] [2]} ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Un anillo l , o anillo ordenado en red , es un anillo parcialmente ordenado donde además hay un orden en red . ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Propiedades

El grupo aditivo de un anillo parcialmente ordenado es siempre un grupo parcialmente ordenado .

El conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado (el conjunto de elementos al que también se le llama cono positivo del anillo) es cerrado bajo adición y multiplicación, es decir, si es el conjunto de elementos no negativos de un anillo parcialmente ordenado, entonces y Además, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P+P\subseteq P}$ ${\displaystyle P\cdot P\subseteq P.}$ ${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

La asignación del orden parcial compatible de un anillo al conjunto de sus elementos no negativos es biunívoca ; ^[1] es decir, el orden parcial compatible determina de manera única el conjunto de elementos no negativos, y un conjunto de elementos determina de manera única el orden parcial compatible si existe uno. ${\displaystyle A}$

Si es un subconjunto de un anillo y: ${\displaystyle S\subseteq A}$ ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle 0\in S}$
2. ${\displaystyle S\cap (-S)=\{0\}}$
3. ${\displaystyle S+S\subseteq S}$
4. ${\displaystyle S\cdot S\subseteq S}$

entonces la relación donde si y sólo si define un orden parcial compatible en (es decir, es un anillo parcialmente ordenado). ^[2] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y-x\in S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,\leq )}$

En cualquier anillo l, el valor absoluto de un elemento se puede definir como donde denota el elemento máximo . Para cualquier y se cumple. ^[3] ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\vee (-x),}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle |x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|}$$

anillos f

Un anillo f , o anillo de Pierce–Birkhoff , es un anillo ordenado en red en el que ^[4] e implican que para todos Fueron introducidos por primera vez por Garrett Birkhoff y Richard S. Pierce en 1956, en un artículo titulado "Anillos ordenados en red", en un intento de restringir la clase de anillos l para eliminar una serie de ejemplos patológicos. Por ejemplo, Birkhoff y Pierce demostraron un anillo l con 1 en el que 1 no es positivo, aunque sea un cuadrado. ^[2] La hipótesis adicional requerida de los anillos f elimina esta posibilidad. ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle x\wedge y=0}$ ${\displaystyle 0\leq z}$ ${\displaystyle zx\wedge y=xz\wedge y=0}$ ${\displaystyle x,y,z\in A.}$

Ejemplo

Sea un espacio de Hausdorff y sea el espacio de todas las funciones continuas de valor real en es un f-anillo de Arquímedes con 1 bajo las siguientes operaciones puntuales: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ $${\displaystyle [f+g](x)=f(x)+g(x)}$$ $${\displaystyle [fg](x)=f(x)\cdot g(x)}$$ $${\displaystyle [f\wedge g](x)=f(x)\wedge g(x).}$$

Desde un punto de vista algebraico, los anillos son bastante rígidos. Por ejemplo, las localizaciones , los anillos de residuos o los límites de anillos de la forma no son de esta forma en general. Una clase mucho más flexible de anillos f que contiene todos los anillos de funciones continuas y se asemeja a muchas de las propiedades de estos anillos es la clase de anillos cerrados reales . ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Propiedades

• Un producto directo de anillos f es un anillo f, un subanillo l de un anillo f es un anillo f y una imagen l-homomórfica de un anillo f es un anillo f. ^[3]

• ${\displaystyle |xy|=|x||y|}$en un anillo en forma de f. ^[3]

• La categoría Arf está formada por los f-anillos de Arquímedes con 1 y los l-homomorfismos que preservan la identidad. ^[5]

• Todo anillo ordenado es un f-anillo, por lo que toda unión subdirecta de anillos ordenados es también un f-anillo. Suponiendo el axioma de elección , un teorema de Birkhoff muestra lo inverso, y que un l-anillo es un f-anillo si y solo si es l-isomorfo a una subunión directa de anillos ordenados. ^[2] Algunos matemáticos toman esto como la definición de un f-anillo. ^[3]

Resultados formalmente verificados para anillos ordenados conmutativos

IsarMathLib, una biblioteca para el demostrador del teorema de Isabelle , contiene verificaciones formales de algunos resultados fundamentales sobre anillos ordenados conmutativos . Los resultados se demuestran en el ring1contexto. ^[6]

Supongamos que es un anillo ordenado conmutativo, y entonces: ${\displaystyle (A,\leq )}$ ${\displaystyle x,y,z\in A.}$

Véase también

• Grupo ordenado linealmente  : Grupo con orden total invariante traslacionalmente; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb
• Campo ordenado  – Objeto algebraico con una estructura ordenada
• Grupo ordenado  – Grupo con un orden parcial compatiblePages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial
• Espacio parcialmente ordenado  – Espacio topológico parcialmente ordenado
• Espacio de Riesz  : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red

Referencias

1. Anderson, FW "Anillos de cocientes ordenados en red". Revista Canadiense de Matemáticas . 17 : 434–448. doi :10.4153/cjm-1965-044-7.
2. Johnson, DG (diciembre de 1960). "Una teoría de la estructura para una clase de anillos ordenados en red". Acta Mathematica . 104 (3–4): 163–215. doi : 10.1007/BF02546389 .
3. Henriksen, Melvin (1997). "Un estudio de los anillos f y algunas de sus generalizaciones". En W. Charles Holland y Jorge Martínez (ed.). Estructuras algebraicas ordenadas: actas de la Conferencia de Curazao patrocinada por la Fundación de Matemáticas del Caribe, 23-30 de junio de 1995. Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. págs. 1-26. ISBN 0-7923-4377-8.
4. denota ínfimo . ${\displaystyle \wedge }$
5. Hager, Anthony W.; Jorge Martínez (2002). "Anillos funcionales de cocientes—III: El máximo en anillos f de Arquímedes". Journal of Pure and Applied Algebra . 169 : 51–69. doi : 10.1016/S0022-4049(01)00060-3 .
6. "IsarMathLib" (PDF) . Consultado el 31 de marzo de 2009 .

Lectura adicional

• Birkhoff, G.; R. Pierce (1956). "Anillos ordenados en celosía". Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 : 41–69.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Anillos de funciones continuas. Reimpresión de la edición de 1960. Textos de posgrado en matemáticas, n.º 43. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp.

Enlaces externos

• "Anillo ordenado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Anillo parcialmente ordenado en PlanetMath .