En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un grupo de Arquímedes es un grupo ordenado linealmente para el cual se cumple la propiedad de Arquímedes : cada dos elementos positivos del grupo están acotados por múltiplos enteros entre sí. El conjunto R de números reales junto con la operación de adición y la relación de ordenación habitual entre pares de números es un grupo de Arquímedes. Por un resultado de Otto Hölder , cada grupo de Arquímedes es isomorfo a un subgrupo de este grupo. El nombre "Arquímedes" proviene de Otto Stolz , quien nombró la propiedad de Arquímedes después de su aparición en las obras de Arquímedes . [1]
Un grupo aditivo consiste en un conjunto de elementos, una operación de adición asociativa que combina pares de elementos y devuelve un único elemento, un elemento identidad (o elemento cero) cuya suma con cualquier otro elemento es el otro elemento, y una operación inversa aditiva tal que la suma de cualquier elemento y su inversa es cero. [2] Un grupo es un grupo ordenado linealmente cuando, además, sus elementos pueden ordenarse linealmente de una manera que sea compatible con la operación de grupo: para todos los elementos x , y y z , si x ≤ y entonces x + z ≤ y + z y z + x ≤ z + y .
La notación na (donde n es un número natural ) representa la suma del grupo de n copias de a . Un grupo de Arquímedes ( G , +, ≤) es un grupo ordenado linealmente sujeto a la siguiente condición adicional, la propiedad de Arquímedes: Para cada a y b en G que sean mayores que 0, es posible encontrar un número natural n para el cual se cumpla la desigualdad b ≤ na . [3]
Una definición equivalente es que un grupo arquimediano es un grupo ordenado linealmente sin ningún subgrupo cíclico acotado : no existe un subgrupo cíclico S y un elemento x con x mayor que todos los elementos en S. [ 4] Es fácil ver que esto es equivalente a la otra definición: la propiedad arquimediana para un par de elementos a y b es simplemente la afirmación de que el subgrupo cíclico generado por a no está acotado por b .
Los conjuntos de los números enteros, los números racionales y los números reales, junto con la operación de adición y la ordenación habitual (≤), son grupos arquimedianos. Todo subgrupo de un grupo arquimediano es en sí mismo arquimediano, por lo que se sigue que todo subgrupo de estos grupos, como el grupo aditivo de los números pares o de los racionales diádicos , también forma un grupo arquimediano.
Por el contrario , como demostró Otto Hölder , todo grupo arquimediano es isomorfo (como grupo ordenado) a un subgrupo de los números reales. [5] [6] [7] [8] De esto se deduce que todo grupo arquimediano es necesariamente un grupo abeliano : su operación de adición debe ser conmutativa . [5]
Los grupos que no se pueden ordenar linealmente, como los grupos finitos , no son arquimedianos. Para otro ejemplo, véase los números p -ádicos , un sistema de números que generaliza los números racionales de una manera diferente a los números reales.
También existen grupos ordenados no arquimedianos; el grupo ordenado ( G , +, ≤ ) definido de la siguiente manera no es arquimediano. Sean los elementos de G los puntos del plano euclidiano , dados por sus coordenadas cartesianas : pares ( x , y ) de números reales. Sea la operación de adición de grupos una adición puntual (vectorial), y ordene estos puntos en orden lexicográfico : si a = ( u , v ) y b = ( x , y ), entonces a + b = ( u + x , v + y ), y a ≤ b exactamente cuando v < y o v = y y u ≤ x . Entonces esto da un grupo ordenado, pero uno que no es arquimediano. Para ver esto, considere los elementos (1, 0) y (0, 1), ambos mayores que el elemento cero del grupo (el origen ). Para cada número natural n , se sigue de estas definiciones que n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), por lo que no hay ningún n que satisfaga la propiedad de Arquímedes. [9] Este grupo puede considerarse como el grupo aditivo de pares de un número real y un infinitesimal , donde es una unidad infinitesimal: pero para cualquier número real positivo . Los cuerpos ordenados no arquimedianos se pueden definir de manera similar, y sus grupos aditivos son grupos ordenados no arquimedianos. Estos se utilizan en el análisis no estándar e incluyen los números hiperreales y los números surrealistas .
Si bien los grupos ordenados no arquimedianos no pueden integrarse en los números reales, sí pueden integrarse en una potencia de los números reales, con orden lexicográfico, mediante el teorema de integración de Hahn ; el ejemplo anterior es el caso bidimensional.
Todo grupo arquimediano tiene la propiedad de que, para cada corte de Dedekind del grupo, y para cada elemento del grupo ε > 0, existe otro elemento del grupo x con x en el lado inferior del corte y x + ε en el lado superior del corte. Sin embargo, existen grupos ordenados no arquimedianos con la misma propiedad. El hecho de que los grupos arquimedianos sean abelianos se puede generalizar: todo grupo ordenado con esta propiedad es abeliano. [10]
Los grupos arquimedianos se pueden generalizar a los monoides arquimedianos , monoides ordenados linealmente que obedecen a la propiedad arquimediana . Algunos ejemplos son los números naturales, los números racionales no negativos y los números reales no negativos, con la operación y el orden binarios habituales. Mediante una prueba similar a la de los grupos arquimedianos, se puede demostrar que los monoides arquimedianos son conmutativos .
