Función de peso

Construct related to weighted sums and averages

Una función de ponderación es un dispositivo matemático que se utiliza al realizar una suma, una integral o un promedio para dar a algunos elementos más "peso" o influencia en el resultado que a otros elementos del mismo conjunto. El resultado de esta aplicación de una función de ponderación es una suma ponderada o un promedio ponderado . Las funciones de ponderación se utilizan con frecuencia en estadística y análisis , y están estrechamente relacionadas con el concepto de medida . Las funciones de ponderación se pueden emplear tanto en entornos discretos como continuos. Se pueden utilizar para construir sistemas de cálculo llamados "cálculo ponderado" ^[1] y "metacálculo". ^[2]

Pesos discretos

Definición general

En el contexto discreto, una función de peso es una función positiva definida en un conjunto discreto , que normalmente es finito o contable . La función de peso corresponde a la situación no ponderada en la que todos los elementos tienen el mismo peso. Se puede aplicar este peso a varios conceptos. ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w(a):=1}$

Si la función es una función de valor real , entonces la suma no ponderada de on se define como ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

pero dada una función de peso , la suma ponderada o combinación cónica se define como ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

Una aplicación común de las sumas ponderadas surge en la integración numérica .

Si B es un subconjunto finito de A , se puede reemplazar la cardinalidad no ponderada | B | de B por la cardinalidad ponderada

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Si A es un conjunto finito no vacío, se puede reemplazar la media o promedio no ponderado

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

por la media ponderada o promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

En este caso sólo son relevantes los pesos relativos .

Estadística

Las medias ponderadas se utilizan comúnmente en estadística para compensar la presencia de sesgo . Para una cantidad medida varias veces de forma independiente con varianza , la mejor estimación de la señal se obtiene promediando todas las mediciones con ponderación , y la varianza resultante es menor que cada una de las mediciones independientes . El método de máxima verosimilitud pondera la diferencia entre el ajuste y los datos utilizando las mismas ponderaciones . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$ ${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los posibles valores que podría tomar, siendo los pesos las probabilidades respectivas . En términos más generales, el valor esperado de una función de una variable aleatoria es el promedio ponderado por la probabilidad de los valores que toma la función para cada valor posible de la variable aleatoria.

En las regresiones en las que se supone que la variable dependiente se ve afectada tanto por los valores actuales como por los rezagados (pasados) de la variable independiente , se estima una función de rezago distribuida , que es un promedio ponderado de los valores actuales y de varios rezagados de la variable independiente. De manera similar, un modelo de promedio móvil especifica una variable en evolución como un promedio ponderado de los valores actuales y de varios rezagados de una variable aleatoria.

Mecánica

La terminología función de peso surge de la mecánica : si uno tiene una colección de objetos en una palanca , con pesos (donde el peso ahora se interpreta en el sentido físico) y ubicaciones , entonces la palanca estará en equilibrio si el fulcro de la palanca está en el centro de masa. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

que es también el promedio ponderado de las posiciones . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

Pesos continuos

En el contexto continuo, un peso es una medida positiva, como en algún dominio , que normalmente es un subconjunto de un espacio euclidiano ; por ejemplo, podría ser un intervalo . Aquí se trata de una medida de Lebesgue y es una función medible no negativa . En este contexto, la función de peso a veces se denomina densidad . ${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

Definición general

Si es una función de valor real , entonces la integral no ponderada ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

se puede generalizar a la integral ponderada

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

Téngase en cuenta que puede ser necesario exigir que sea absolutamente integrable con respecto al peso para que esta integral sea finita. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w(x)\,dx}$

Volumen ponderado

Si E es un subconjunto de , entonces el volumen vol( E ) de E se puede generalizar al volumen ponderado ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

Promedio ponderado

Si tiene un volumen ponderado finito distinto de cero, entonces podemos reemplazar el promedio no ponderado. ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

por el promedio ponderado

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

Forma bilineal

Si y son dos funciones, se puede generalizar la forma bilineal no ponderada ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

a una forma bilineal ponderada

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

Consulte la entrada sobre polinomios ortogonales para ver ejemplos de funciones ortogonales ponderadas .

Véase también

• Centro de masa
• Integración numérica
• Ortogonalidad
• Media ponderada
• Combinación lineal
• Kernel (estadísticas)
• Medida (matemáticas)
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Ponderación
• Función de ventana

Referencias

1. Jane Grossman, Michael Grossman, Robert Katz. Los primeros sistemas de cálculo diferencial e integral ponderado, ISBN  0-9771170-1-4 , 1980.
2. Jane Grossman. Metacálculo: diferencial e integral, ISBN 0-9771170-2-2 , 1981.