Relación total

Tipo de relación lógica

En matemáticas , una relación binaria R ⊆ X × Y entre dos conjuntos X e Y es total (o total izquierda ) si el conjunto fuente X es igual al dominio { x  : hay una y con xRy }. Por el contrario, R se llama total derecha si Y es igual al rango { y  : hay una x con xRy }.

Cuando f : X → Y es una función , el dominio de f es todo X , por lo tanto f es una relación total. Por otro lado, si f es una función parcial , entonces el dominio puede ser un subconjunto propio de X , en cuyo caso f no es una relación total.

"Se dice que una relación binaria es total con respecto a un universo de discurso sólo en el caso de que todo en ese universo de discurso esté en esa relación con algo más". ^[1]

Caracterización algebraica

Las relaciones totales se pueden caracterizar algebraicamente por igualdades y desigualdades que involucran composiciones de relaciones . Para este fin, sean dos conjuntos, y sea Para cualesquiera dos conjuntos sea la relación universal entre y y sea la relación de identidad en Usamos la notación para la relación inversa de ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle R^{\top }}$ ${\displaystyle R.}$

• ${\displaystyle R}$es total si y solo si para cualquier conjunto y cualquier implica ^{[2] : 54} ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$ ${\displaystyle S\neq \emptyset }$ ${\displaystyle SR\neq \emptyset .}$
• ${\displaystyle R}$es total si y solo si ^{[2] : 54} ${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}$
• Si es total, entonces El recíproco es verdadero si ^{[nota 1]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• Si es total, entonces La inversa es verdadera si ^{[nota 2] [2] : 63} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• Si es total, entonces El recíproco es verdadero si ^{[2] : 54  [3]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• De manera más general, si es total, entonces para cualquier conjunto y cualquier La inversa es verdadera si ^{[nota 3] [2] : 57} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$ ${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$

Véase también

• Relación serial : una relación homogénea total

Notas

1. Si entonces no será total. ${\displaystyle Y=\emptyset \neq X,}$ ${\displaystyle R}$
2. Observa y aplica el punto anterior. ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},}$
3. Tomemos y apelemos al punto anterior. ${\displaystyle Z=Y,S=I_{Y}}$

Referencias

1. Funciones de la Universidad Carnegie Mellon
2. Schmidt, Gunther ; Ströhlein, Thomas (6 de diciembre de 2012). Relaciones y gráficos: matemáticas discretas para científicos informáticos. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8.
3. Gunther Schmidt (2011). Matemáticas relacionales . Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511778810. ISBN. 9780511778810.Definición 5.8, página 57.

• Gunther Schmidt y Michael Winter (2018) Topología relacional
• C. Brink, W. Kahl y G. Schmidt (1997) Métodos relacionales en informática , Advances in Computer Science, página 5, ISBN 3-211-82971-7 
• Gunther Schmidt y Thomas Strohlein (2012)[1987] Relaciones y gráficos , pág. 54, en Google Books
• Gunther Schmidt (2011) Matemáticas relacionales , pág. 57, en Google Books