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Subconjunto

Diagrama de Euler que muestra que
A es un subconjunto de B (denotado ) y, a la inversa, B es un superconjunto de A (denotado ).

En matemáticas, un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B . La relación de que un conjunto sea un subconjunto de otro se denomina inclusión (o a veces contención ). A es un subconjunto de B también puede expresarse como B incluye (o contiene) a A o A está incluido (o contenido) en B . Un k -subconjunto es un subconjunto con k elementos.

Cuando se cuantifica, se representa como [1]

Se puede probar la afirmación aplicando una técnica de prueba conocida como argumento elemental [2] :

Sean los conjuntos A y B dados. Para demostrar que

  1. Supongamos que a es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de A.
  2. Demuestre que a es un elemento de B.

La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal : la técnica muestra para un elemento elegido arbitrariamente c . La generalización universal implica entonces que es equivalente a lo indicado anteriormente.

Definición

Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también un elemento de B , entonces:

  • A es un subconjunto de B , denotado por , o equivalentemente,
  • B es un superconjunto de A , denotado por

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

  • A es un subconjunto propio (o estricto ) de B , denotado por , o equivalentemente,
  • B es un superconjunto propio (o estricto ) de A , denotado por

El conjunto vacío , escrito o no tiene elementos, y por lo tanto es vacuamente un subconjunto de cualquier conjunto X.

Propiedades básicas

y implica

Subconjunto propio

Símbolos ⊂ y ⊃

Algunos autores utilizan los símbolos y para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y [4] Por ejemplo, para estos autores, es cierto de todo conjunto A que (una relación reflexiva ).

Otros autores prefieren usar los símbolos y para indicar subconjunto propio (también llamado estricto) y superconjunto propio respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y [5] Este uso hace que y sea análogo a los símbolos de desigualdad y Por ejemplo, si entonces x puede o no ser igual a y , pero si entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y (una relación irreflexiva ). De manera similar, usando la convención de que es subconjunto propio, si entonces A puede o no ser igual a B , pero si entonces A definitivamente no es igual a B .

Ejemplos de subconjuntos

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos.

Otro ejemplo en un diagrama de Euler :

Conjunto de potencia

El conjunto de todos los subconjuntos de se llama su conjunto potencia y se denota por . [6]

La relación de inclusión es un orden parcial en el conjunto definido por . También podemos ordenar parcialmente por inclusión inversa del conjunto definiendo

Para el conjunto potencia de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es —hasta un isomorfismo de orden— el producto cartesiano de (la cardinalidad de S ) copias del orden parcial en para el cual Esto se puede ilustrar enumerando , y asociando con cada subconjunto (es decir, cada elemento de ) la k -tupla de cuya i ésima coordenada es 1 si y solo si es un miembro de T .

El conjunto de todos los subconjuntos de se denota por , de forma análoga a la notación para coeficientes binomiales , que cuentan el número de subconjuntos de un conjunto de elementos. En teoría de conjuntos , la notación también es común, especialmente cuando es un número cardinal transfinito .

Otras propiedades de la inclusión

Véase también

Referencias

  1. ^ Rosen, Kenneth H. (2012). Matemática discreta y sus aplicaciones (7.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
  2. ^ Epp, Susanna S. (2011). Matemática discreta con aplicaciones (cuarta edición). pág. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
  3. ^ Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
  4. ^ Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , pág. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157
  5. ^ Subconjuntos y subconjuntos propios (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 23 de enero de 2013 , consultado el 7 de septiembre de 2012
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Subconjunto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .

Bibliografía

Enlaces externos