Función de valor real

Función matemática que toma valores reales.

La masa medida en gramos es una función de esta colección de pesos a números reales positivos . El término " función de peso ", en alusión a este ejemplo, se utiliza en matemáticas puras y aplicadas.

En matemáticas, una función de valor real es una función cuyos valores son números reales . En otras palabras, es una función que asigna un número real a cada miembro de su dominio .

Las funciones con valores reales de una variable real (comúnmente llamadas funciones reales ) y las funciones con valores reales de varias variables reales son el principal objeto de estudio del cálculo y, más generalmente, del análisis real . En particular, muchos espacios funcionales constan de funciones de valor real.

estructura algebraica

Sea el conjunto de todas las funciones desde un conjunto X hasta números reales . Como es un campo , se puede convertir en un espacio vectorial y un álgebra conmutativa sobre los reales con las siguientes operaciones: ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

• ${\displaystyle f+g:x\mapsto f(x)+g(x)}$- Suma de vectores
• ${\displaystyle \mathbf {0} :x\mapsto 0}$– identidad aditiva
• ${\displaystyle cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R} }$- multiplicación escalar
• ${\displaystyle fg:x\mapsto f(x)g(x)}$– multiplicación puntual

Estas operaciones se extienden a funciones parciales desde X hasta con la restricción de que las funciones parciales f + g y f g se definen sólo si los dominios de f y g tienen una intersección no vacía; en este caso, su dominio es la intersección de los dominios de f y g . ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Además, al ser un conjunto ordenado, existe un orden parcial. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x),}$

sobre el cual forma un anillo parcialmente ordenado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} }),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })}$

Mensurable

El σ-álgebra de conjuntos de Borel es una estructura importante en números reales. Si X tiene su σ-álgebra y una función f es tal que la preimagen f  ⁻¹ ( B ) de cualquier conjunto de Borel B pertenece a esa σ-álgebra, entonces se dice que f es medible . Las funciones medibles también forman un espacio vectorial y un álgebra como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica.

Además, un conjunto (familia) de funciones de valor real en X puede en realidad definir una σ-álgebra en X generada por todas las preimágenes de todos los conjuntos de Borel (o solo de intervalos , no es importante). Así es como surgen las σ-álgebras en la teoría de probabilidad ( de Kolmogorov ) , donde las funciones con valores reales en el espacio muestral Ω son variables aleatorias con valores reales .

Continuo

Los números reales forman un espacio topológico y un espacio métrico completo . Las funciones continuas de valores reales (lo que implica que X es un espacio topológico) son importantes en las teorías de espacios topológicos y de espacios métricos . El teorema del valor extremo establece que para cualquier función continua real en un espacio compacto existen su máximo y mínimo globales .

El concepto de espacio métrico en sí se define con una función de valor real de dos variables, la métrica , que es continua. El espacio de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff tiene una importancia particular. Las secuencias convergentes también pueden considerarse funciones continuas de valor real en un espacio topológico especial.

Las funciones continuas también forman un espacio vectorial y un álgebra como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica, y son una subclase de funciones medibles porque cualquier espacio topológico tiene el σ-álgebra generada por conjuntos abiertos (o cerrados).

Liso

Los números reales se utilizan como codominio para definir funciones suaves. Un dominio de una función suave real puede ser el espacio de coordenadas real (que produce una función multivariable real ), un espacio vectorial topológico , ^[1] un subconjunto abierto de ellos o una variedad suave .

Los espacios de funciones suaves también son espacios vectoriales y álgebras como se explicó anteriormente en § Estructura algebraica y son subespacios del espacio de funciones continuas.

Apariciones en la teoría de la medida

Una medida en un conjunto es un funcional de valor real no negativo en un σ-álgebra de subconjuntos. ^[2] Los espacios L p en conjuntos con una medida se definen a partir de funciones mensurables de valor real antes mencionadas, aunque en realidad son espacios cocientes . Más precisamente, mientras que una función que satisface una condición de sumabilidad apropiada define un elemento del espacio L ^p , en la dirección opuesta para cualquier f ∈ L ^p ( X ) y x ∈ X que no sea un átomo , el valor f ( x ) no está definido . ^{Sin embargo, los espacios L p} de valor real todavía tienen parte de la estructura descrita anteriormente en § Estructura algebraica. Cada uno de los espacios L ^p es un espacio vectorial y tiene un orden parcial, y existe una multiplicación puntual de "funciones" que cambia p , a saber

${\displaystyle \cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1,\quad \alpha +\beta \leq 1.}$

Por ejemplo, el producto puntual de dos funciones L ² pertenece a L ¹ .

Otras apariciones

Otros contextos donde se utilizan funciones con valores reales y sus propiedades especiales incluyen funciones monótonas (en conjuntos ordenados ), funciones convexas (en espacios vectoriales y afines ), funciones armónicas y subarmónicas (en variedades de Riemann ), funciones analíticas (generalmente de uno o más variables reales), funciones algebraicas (sobre variedades algebraicas reales ) y polinomios (de una o más variables reales).

Ver también

• Análisis reales
• Ecuaciones diferenciales parciales , un usuario importante de funciones de valores reales
• Norma (matemáticas)
• Escalar (matemáticas)

Notas a pie de página

1. En general, existen diferentes definiciones de derivada , pero para dimensiones finitas dan como resultado definiciones equivalentes de clases de funciones suaves.
2. En realidad, una medida puede tener valores en [0, +∞] : ver recta de números reales extendida .

Referencias

• Apóstol, Tom M. (1974). Análisis matemático (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• Gerald Folland , Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones, segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Función real". MundoMatemático .