Ecuación paramétrica

Representación de una curva mediante una función de un parámetro.

La curva de mariposa se puede definir mediante ecuaciones paramétricas de x e y .

En matemáticas , una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros . ^[1] Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico como una curva o una superficie , llamados curva paramétrica y superficie paramétrica , respectivamente. En tales casos, las ecuaciones se denominan colectivamente representación paramétrica , ^[2] o sistema paramétrico , ^[3] o parametrización (alternativamente escrita como parametrización ) del objeto. ^{[1] [4] [5]}

Por ejemplo, las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$$

círculo unitariot( x , y )si y sólo sitescalaresvectores

$${\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$$

Las representaciones paramétricas generalmente no son únicas (consulte la sección "Ejemplos en dos dimensiones" a continuación), por lo que las mismas cantidades pueden expresarse mediante varias parametrizaciones diferentes. ^[1]

Además de curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente en cinemática , donde la trayectoria de un objeto se representa mediante ecuaciones que dependen del tiempo como parámetro. Debido a esta aplicación, un único parámetro suele denominarse t ; sin embargo, los parámetros pueden representar otras cantidades físicas (como variables geométricas) o pueden seleccionarse arbitrariamente por conveniencia. Las parametrizaciones no son únicas; más de un conjunto de ecuaciones paramétricas pueden especificar la misma curva. ^[6]

Aplicaciones

Cinemática

En cinemática , las trayectorias de los objetos a través del espacio se describen comúnmente como curvas paramétricas, y cada coordenada espacial depende explícitamente de un parámetro independiente (generalmente el tiempo). Utilizado de esta manera, el conjunto de ecuaciones paramétricas para las coordenadas del objeto constituyen colectivamente una función de posición con valor vectorial . Estas curvas paramétricas pueden luego integrarse y diferenciarse terminológicamente . Por lo tanto, si la posición de una partícula se describe paramétricamente como

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

entonces su velocidad se puede encontrar como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

y su aceleración como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

Diseño asistido por ordenador

Otro uso importante de las ecuaciones paramétricas es en el campo del diseño asistido por computadora (CAD). ^[7] Por ejemplo, considere las siguientes tres representaciones, todas las cuales se usan comúnmente para describir curvas planas .

Cada representación tiene ventajas e inconvenientes para las aplicaciones CAD.

La representación explícita puede ser muy complicada o incluso puede no existir. Además, no se comporta bien ante transformaciones geométricas y, en particular, ante rotaciones . Por otro lado, como una ecuación paramétrica y una ecuación implícita pueden deducirse fácilmente de una representación explícita, cuando existe una representación explícita simple, tiene las ventajas de las otras dos representaciones.

Las representaciones implícitas pueden dificultar la generación de puntos en la curva, e incluso decidir si existen puntos reales. Por otro lado, son muy adecuados para decidir si un punto determinado está en una curva, o si está dentro o fuera de una curva cerrada.

Estas decisiones pueden resultar difíciles con una representación paramétrica, pero las representaciones paramétricas son más adecuadas para generar puntos en una curva y trazarla. ^[8]

Geometría entera

Numerosos problemas de geometría entera se pueden resolver utilizando ecuaciones paramétricas. Una solución clásica de este tipo es la parametrización de Euclides de triángulos rectángulos de modo que las longitudes de sus lados a , b y su hipotenusa c sean números enteros coprimos . Como a y b no son pares (de lo contrario a , b y c no serían coprimos), uno puede intercambiarlos para que tengan un par, y la parametrización es entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

donde los parámetros m y n son números enteros coprimos positivos que no son ambos impares.

Al multiplicar a , b y c por un entero positivo arbitrario, se obtiene una parametrización de todos los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen longitudes enteras.

Implicitización

Convertir un conjunto de ecuaciones paramétricas en una única ecuación implícita implica eliminar la variable t de las ecuaciones simultáneas. Este proceso se llama implicitización . Si una de estas ecuaciones se puede resolver para t , la expresión obtenida se puede sustituir en la otra ecuación para obtener una ecuación que incluya x e y solamente: Resolver para obtener y usar esto da la ecuación explícita , mientras que los casos más complicados darán una implícita. ecuación de la forma ${\displaystyle x=f(t),\ y=g(t).}$ ${\displaystyle y=g(t)}$ ${\displaystyle t=g^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x=f(t)}$ ${\displaystyle x=f(g^{-1}(y)),}$ ${\displaystyle h(x,y)=0.}$

Si la parametrización viene dada por funciones racionales

$${\displaystyle x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},}$$

donde p , q y r son polinomios coprimos de conjuntos , un cálculo resultante permite implícitamente. Más precisamente, la ecuación implícita es la resultante con respecto a t de xr ( t ) – p ( t ) e yr ( t ) – q ( t ) .

En dimensiones superiores (ya sea más de dos coordenadas o más de un parámetro), la implícitación de ecuaciones paramétricas racionales puede realizarse con el cálculo de la base de Gröbner ; ver base de Gröbner § Implicitización en dimensión superior .

Para tomar el ejemplo del círculo de radio a , las ecuaciones paramétricas

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}}$$

puede estar implícito en términos de x e y mediante la identidad trigonométrica pitagórica . Con

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,}$$

$${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,}$$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$$

que es la ecuación estándar de un círculo centrado en el origen.

Ejemplos en dos dimensiones

Parábola

La ecuación más simple para una parábola ,

$${\displaystyle y=x^{2}}$$

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t y configurando

$${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

Ecuaciones explícitas

De manera más general, cualquier curva dada por una ecuación explícita

$${\displaystyle y=f(x)}$$

se puede parametrizar (trivialmente) utilizando un parámetro libre t y configurando

$${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

Círculo

Un ejemplo más sofisticado es el siguiente. Considere el círculo unitario que se describe mediante la ecuación ordinaria (cartesiana)

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

Esta ecuación se puede parametrizar de la siguiente manera:

$${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .}$$

Con la ecuación cartesiana es más fácil comprobar si un punto se encuentra en la circunferencia o no. Con la versión paramétrica es más fácil obtener puntos en un gráfico.

En algunos contextos, si existen, se prefieren las ecuaciones paramétricas que involucran sólo funciones racionales (es decir, fracciones de dos polinomios ). En el caso del círculo, tal parametrización racional es

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Con este par de ecuaciones paramétricas, el punto (−1, 0) no está representado por un valor real de t , sino por el límite de x e y cuando t tiende a infinito .

Elipse

Una elipse en posición canónica (centro en el origen, eje mayor a lo largo del eje x ) con semiejes a y b se puede representar paramétricamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

Una elipse en posición general se puede expresar como

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}}$$

ya que el parámetro t varía de 0 a 2 π . Aquí ( X _c , Y _c ) es el centro de la elipse y φ es el ángulo entre el eje x y el eje mayor de la elipse.

Ambas parametrizaciones se pueden hacer racionales utilizando la fórmula del medio ángulo tangente y estableciendo ${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

curva de lissajous

Una curva de Lissajous donde k _x = 3 y k _y = 2 .

Una curva de Lissajous es similar a una elipse, pero las sinusoides xey no están en fase . En posición canónica, una curva de Lissajous viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$

donde k _x y k _y son constantes que describen el número de lóbulos de la figura.

Hipérbola

Una hipérbola con apertura este-oeste se puede representar paramétricamente mediante

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

o, racionalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

Una hipérbola con apertura norte-sur se puede representar paramétricamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

o, racionalmente

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

En todas estas fórmulas ( h , k ) son las coordenadas centrales de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor. Tenga en cuenta que en las formas racionales de estas fórmulas, los puntos ( −a , 0) y (0 , −a ) , respectivamente, no están representados por un valor real de t , sino que son el límite de x e y cuando t tiende a infinidad.

hipotrocoide

Una hipotrocoide es una curva trazada por un punto unido a un círculo de radio r que gira alrededor del interior de un círculo fijo de radio R , donde el punto está a una distancia d del centro del círculo interior.

• 
  Un hipotrocoide para el cual r = d
• 
  Un hipotrocoide para el cual R = 5 , r = 3 , d = 5

Las ecuaciones paramétricas para los hipotrocoides son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos:

• 
  R = 6 r = 4 re = 1
• 
  R = 7 r = 4 re = 1
• 
  R = 8 r = 3 re = 2
• 
  R = 7 r = 4 re = 2
• 
  R = 15 r = 14 re = 1

Ejemplos en tres dimensiones

Hélice paramétrica animada

Hélice

hélice paramétrica

Las ecuaciones paramétricas son convenientes para describir curvas en espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

describe una curva tridimensional, la hélice , con un radio de a y que se eleva 2 π b unidades por vuelta. Las ecuaciones son idénticas en el plano a las de un círculo. Expresiones como la anterior se escriben comúnmente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

donde r es un vector tridimensional.

Superficies paramétricas

Un toro con radio mayor R y radio menor r se puede definir paramétricamente como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

donde los dos parámetros t y u varían entre 0 y 2 π .

• 
  R = 2 , r = 1/2

Cuando u varía de 0 a 2 π, el punto en la superficie se mueve alrededor de un círculo corto que pasa a través del agujero en el toroide. Cuando t varía de 0 a 2 π, el punto en la superficie se mueve alrededor de un círculo largo alrededor del agujero en el toroide.

Ejemplo con vectores

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto y paralela al vector es ^[9] ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$ ${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

Sistemas lineales indeterminados

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas está indeterminado si tiene más de una solución. Esto ocurre cuando la matriz del sistema y su matriz aumentada tienen el mismo rango r y r < n . En este caso, se pueden seleccionar n − r incógnitas como parámetros y representar todas las soluciones como una ecuación paramétrica donde todas las incógnitas se expresan como combinaciones lineales de las seleccionadas. Es decir, si las incógnitas lo son se pueden reordenar para expresar las soluciones como ^[10] ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}}$$

Esta ecuación paramétrica se llama forma paramétrica de la solución del sistema. ^[10]

El método estándar para calcular una forma paramétrica de la solución es utilizar la eliminación gaussiana para calcular una forma escalonada reducida por filas de la matriz aumentada. Entonces, las incógnitas que se pueden utilizar como parámetros son las que corresponden a columnas que no contienen ninguna entrada inicial (es decir, la entrada distinta de cero situada más a la izquierda en una fila o en la matriz), y la forma paramétrica se puede deducir directamente. ^[10]

Ver también

• Curva
• Estimación paramétrica
• Vector de posición
• Función con valores vectoriales
• Parametrización por longitud de arco
• Derivada paramétrica

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Ecuaciones paramétricas". MundoMatemático .
2. Kreyszig, Erwin (1972). Matemáticas de ingeniería avanzada (3ª ed.). Nueva York: Wiley . págs.291, 342. ISBN 0-471-50728-8.
3. Carga, Richard L.; Ferias, J. Douglas (1993). Análisis numérico (5ª ed.). Boston: Brookes/Cole . pag. 149.ISBN _ 0-534-93219-3.
4. Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Cálculo y geometría analítica (quinta ed.). Addison-Wesley . pag. 91.
5. Nykamp, ​​Duane. "Ejemplo de parametrización de planos". mathinsight.org . Consultado el 14 de abril de 2017 .
6. Spitzbart, Abraham (1975). Cálculo con Geometría Analítica . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Consultado el 30 de agosto de 2015 .
7. Stewart, James (2003). Cálculo (5ª ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. págs. ISBN 0-534-39339-X.
8. Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). CAD/CAM paramétrico y basado en funciones: conceptos, técnicas y aplicaciones . Nueva York, Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. págs. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
9. Cálculo: único y multivariable . Juan Wiley. 2012-10-29. pag. 919.ISBN _ 9780470888612. OCLC  828768012.
10. Antón, Howard; Rorres, Chris (2014) [1973]. "1.2 Eliminación gaussiana". Álgebra lineal elemental (11ª ed.). Wiley. págs. 11-24.

enlaces externos

• Software de gráficos en Curlie
• Aplicación web para dibujar curvas paramétricas en el plano.