Triángulo entero

Triángulo con lados de longitudes enteras

Un triángulo heroniano con lados c , e y b  +  d , y altura a , todos números enteros.

Un triángulo entero o triángulo integral es un triángulo cuyos lados son todos enteros . Un triángulo racional es aquel cuyos lados son números racionales ; cualquier triángulo racional puede reescalarse por el mínimo común denominador de los lados para obtener un triángulo entero similar , por lo que existe una estrecha relación entre los triángulos enteros y los triángulos racionales.

A veces se utilizan otras definiciones del término triángulo racional : Carmichael (1914) y Dickson (1920) utilizan el término para referirse a un triángulo heroniano (un triángulo con longitudes laterales y áreas integrales o racionales); ^[1] Conway y Guy (1996) definen un triángulo racional como uno con lados racionales y ángulos racionales medidos en grados; los únicos triángulos de este tipo son los triángulos equiláteros de lados racionales . ^[2]

Propiedades generales de un triángulo entero

Triángulos enteros con perímetro dado

Cualquier triple de números enteros positivos puede servir como longitud de los lados de un triángulo entero siempre que satisfaga la desigualdad de triángulos : el lado más largo es más corto que la suma de los otros dos lados. Cada uno de estos triples define un triángulo entero que es único hasta la congruencia . Por lo tanto, el número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con perímetro p es el número de particiones de p en tres partes positivas que satisfacen la desigualdad de triángulos. Este es el entero más cercano a cuando p es par y a cuando p es impar . ^{[3] [4]} También significa que el número de triángulos enteros con perímetros de número par es el mismo que el número de triángulos enteros con perímetros de número impar. Por lo tanto, no hay ningún triángulo entero con perímetro 1, 2 o 4, uno con perímetro 3, 5, 6 u 8 y dos con perímetro 7 o 10. La secuencia del número de triángulos enteros con perímetro p , comenzando en es: ${\displaystyle p^{2}/48}$ ${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$ ${\displaystyle p=2n}$ ${\displaystyle p=2n-3.}$ ${\displaystyle p=1,}$

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (secuencia A005044 en la OEIS )

Esta se llama sucesión de Alcuino .

Triángulos enteros con el lado más grande dado

El número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con el lado más grande dado c y terna entera es el número de ternas enteras tales que y Este es el valor entero ^[3] Alternativamente, para c par es el número triangular doble y para c impar es el cuadrado También significa que el número de triángulos enteros con el lado más grande c excede el número de triángulos enteros con el lado más grande c − 2 por c . La secuencia del número de triángulos enteros no congruentes con el lado más grande c , comenzando en c  = 1, es: ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a+b>c}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (secuencia A002620 en la OEIS )

El número de triángulos enteros (hasta la congruencia) con un lado mayor dado c y una terna entera ( a ,  b ,  c ) que se encuentran sobre o dentro de un semicírculo de diámetro c es el número de ternas enteras tales que a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² y a  ≤  b  ≤  c . Este es también el número de triángulos obtusos o rectángulos (no agudos ) de lados enteros con un lado mayor c . La secuencia que comienza en c  = 1 es:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (secuencia A236384 en la OEIS )

En consecuencia, la diferencia entre las dos sucesiones anteriores da el número de triángulos acutángulos de lados enteros (hasta la congruencia) con el lado mayor dado c . La sucesión que comienza en c  = 1 es:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (secuencia A247588 en la OEIS )

Área de un triángulo entero

Por la fórmula de Herón , si T es el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes a , b y c entonces

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Como todos los términos bajo el radical en el lado derecho de la fórmula son números enteros, se deduce que todos los triángulos enteros deben tener un valor entero de 16T ² y T ² será racional.

Ángulos de un triángulo entero

Por la ley de los cosenos , cada ángulo de un triángulo entero tiene un coseno racional . Cada ángulo de un triángulo rectángulo entero también tiene un seno racional (véase terna pitagórica ).

Si los ángulos de cualquier triángulo forman una progresión aritmética , entonces uno de sus ángulos debe ser de 60°. ^[5] Para los triángulos enteros, los ángulos restantes también deben tener cosenos racionales y a continuación se proporciona un método para generar dichos triángulos. Sin embargo, aparte del caso trivial de un triángulo equilátero, no hay triángulos enteros cuyos ángulos formen una progresión geométrica o armónica . Esto se debe a que dichos ángulos tienen que ser ángulos racionales de la forma con racional Pero todos los ángulos de los triángulos enteros deben tener cosenos racionales y esto ocurrirá solo cuando ^{[6] : p.2} es decir, el triángulo entero es equilátero. ${\displaystyle \pi p/q}$ ${\displaystyle 0<p/q<1.}$ ${\displaystyle p/q=1/3.}$

El cuadrado de cada bisectriz de un ángulo interno de un triángulo entero es racional, porque la fórmula general del triángulo para la bisectriz del ángulo interno del ángulo A es donde s es el semiperímetro (y lo mismo para las bisectrices de los otros ángulos). ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(s-a)}}{\big /}(b+c)}$

Lado dividido por una altitud

Cualquier altitud reducida desde un vértice a un lado opuesto o su extensión dividirá ese lado o su extensión en longitudes racionales.

Medianas

El cuadrado de dos veces cualquier mediana de un triángulo entero es un entero, porque la fórmula general para la mediana al cuadrado m _a ² del lado a es , dando (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ² (y lo mismo para las medianas de los otros lados). ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

Circunradio e inradio

Como el cuadrado del área de un triángulo entero es racional, el cuadrado de su radio circunscrito también es racional, al igual que el cuadrado del radio interno .

La relación entre el inradio y el circunradio de un triángulo entero es racional, igual a para el semiperímetro s y el área T. ${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

El producto del inradio y el circunradio de un triángulo entero es racional, es decir, igual a ${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

Por lo tanto, la distancia al cuadrado entre el incentro y el circuncentro de un triángulo entero, dada por el teorema de Euler , es racional. ${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

Triángulos heronianos

Un triángulo heroniano, también conocido como triángulo de Heron o triángulo de Hero , es un triángulo con lados enteros y área entera.

Todos los triángulos heronianos pueden ubicarse en una red con cada vértice en un punto de la red. ^[7] Además, si un triángulo entero puede ubicarse en una red con cada vértice en un punto de la red, debe ser heroniano.

Fórmula general

Todo triángulo heroniano tiene lados proporcionales a ^[8]

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

para los números enteros m , n y k sujetos a las restricciones:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

El factor de proporcionalidad es generalmente un racional donde q = mcd ( a , b , c ) reduce el triángulo heroniano generado a su primitivo y escala este primitivo al tamaño requerido. ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p}$

Triángulos pitagóricos

Un triángulo pitagórico es rectángulo y heroniano. Sus tres lados enteros se conocen como terna pitagórica o triplete pitagórico o tríada pitagórica . ^[9] Todas las ternas pitagóricas con hipotenusa que son primitivas (los lados no tienen factor común ) se pueden generar mediante ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

donde m y n son números enteros coprimos y uno de ellos es par con m  >  n .

Todo número par mayor que 2 puede ser el cateto de un triángulo pitagórico (no necesariamente primitivo) porque si el cateto está dado por y elegimos como el otro cateto entonces la hipotenusa es . ^[10] Esta es esencialmente la fórmula de generación anterior con el conjunto 1 y permitiendo variar desde 2 hasta el infinito. ${\displaystyle a=2m}$ ${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$ ${\displaystyle c=m^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Triángulos pitagóricos con altura entera a partir de la hipotenusa

No existen triángulos pitagóricos primitivos con altura entera desde la hipotenusa. Esto se debe a que el doble del área es igual a cualquier base multiplicada por la altura correspondiente: por lo tanto, el doble del área es igual a ab y cd , donde d es la altura desde la hipotenusa c . Las tres longitudes de los lados de un triángulo primitivo son coprimos, por lo que está en forma completamente reducida; dado que c no puede ser igual a 1 para ningún triángulo pitagórico primitivo, d no puede ser un número entero. ${\displaystyle d=ab/c}$

Sin embargo, cualquier triángulo pitagórico con catetos x ,  y e hipotenusa z puede generar un triángulo pitagórico con una altura entera, aumentando la escala de los lados por la longitud de la hipotenusa z . Si d es la altura, entonces el triángulo pitagórico generado con una altura entera está dado por ^[11]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

En consecuencia, todos los triángulos pitagóricos con catetos a y b , hipotenusa c , y altura entera d desde la hipotenusa, con , que satisfacen necesariamente tanto a ²  +  b ²  = c ² como , son generados por ^{[12] [11]} ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

para números enteros coprimos m , n con m  >  n .

Triángulos heronianos con lados en progresión aritmética

Un triángulo con lados enteros y área entera tiene lados en progresión aritmética si y solo si ^[13] los lados son ( b – d , b , b + d ), donde

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

y donde g es el máximo común divisor de y ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$ ${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Triángulos heronianos con un ángulo igual al doble de otro

Todos los triángulos heronianos con B = 2 A se generan por ^[14] ya sea

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

con números enteros k , s , r tales que o ${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

con números enteros q , u , v tales que y ${\displaystyle v>u}$ ${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

Ningún triángulo heroniano con B = 2 A es un triángulo isósceles o rectángulo porque todas las combinaciones de ángulos resultantes generan ángulos con senos no racionales , lo que da un área o lado no racional.

Triángulos heronianos isósceles

Todos los triángulos heronianos isósceles son descomponibles. Se forman uniendo dos triángulos pitagóricos congruentes a lo largo de cualquiera de sus catetos comunes, de modo que los lados iguales del triángulo isósceles sean las hipotenusas de los triángulos pitagóricos y la base del triángulo isósceles sea el doble del otro cateto pitagórico. En consecuencia, cada triángulo pitagórico es el bloque de construcción de dos triángulos heronianos isósceles, ya que la unión puede ser a lo largo de cualquiera de los catetos. Todos los pares de triángulos heronianos isósceles están dados por múltiplos racionales de ^[15]

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

y

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

para números enteros coprimos u y v con u > v y u + v impares.

Triángulos heronianos cuyo perímetro es cuatro veces un primo

Se ha demostrado que un triángulo heroniano cuyo perímetro es cuatro veces un primo está asociado de forma única con el primo y que el primo es congruente con o módulo . ^{[16] [17]} Es bien sabido que un primo de este tipo se puede dividir de forma única en números enteros y tales que (ver los números idoneos de Euler ). Además, se ha demostrado que dichos triángulos heronianos son primitivos ya que el lado más pequeño del triángulo tiene que ser igual al primo que es un cuarto de su perímetro. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

En consecuencia, todos los triángulos heronianos primitivos cuyo perímetro es cuatro veces un primo pueden generarse mediante

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

para números enteros y tales que sean primos. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Además, la factorización del área es donde es primo. Sin embargo, el área de un triángulo heroniano siempre es divisible por . Esto da como resultado que, excepto cuando y que da como resultado todos los demás emparejamientos de y deben ser impares y solo uno de ellos divisible por . ${\displaystyle 2mnp}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle p=3,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 3}$

Triángulos heronianos con bisectrices de ángulos racionales

Si en un triángulo heroniano la bisectriz del ángulo , la bisectriz del ángulo y la bisectriz del ángulo tienen una relación racional con los tres lados, entonces no sólo sino también , y deben ser ángulos heronianos. Es decir, si ambos ángulos y son heronianos, entonces , el complemento de , también debe ser un ángulo heroniano, de modo que las tres bisectrices de ángulos sean racionales. Esto también es evidente si se multiplica: ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

juntos. Es decir, mediante esto se obtiene:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

donde denota el semiperímetro y el área del triángulo. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle J}$

Todos los triángulos heronianos con bisectrices de ángulos racionales son generados por ^[18]

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

¿Dónde están tales que? ${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

¿Dónde están los números enteros arbitrarios tales que ${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$y coprimo, ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$y coprimo. ${\displaystyle w}$

Triángulos heronianos con radios internos y externos enteros

Hay infinitos triángulos heronianos (no pitagóricos) primitivos descomponibles e infinitos triángulos indescomponibles con radios enteros para el incírculo y cada excírculo . ^{[19] : Tesis 3 y 4} Una familia de descomponibles está dada por

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

y una familia de indecomponibles viene dada por

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Triángulos heronianos como caras de un tetraedro

Existen tetraedros que tienen un volumen entero y triángulos de Heron como caras . Un ejemplo tiene una arista de 896, la arista opuesta de 190 y las otras cuatro aristas de 1073; dos caras tienen áreas de 436800 y las otras dos tienen áreas de 47120, mientras que el volumen es 62092800. ^{[9] : p.107}

Triángulos heronianos en una red 2D

Un retículo 2D es una matriz regular de puntos aislados donde si se elige un punto como origen cartesiano (0, 0), entonces todos los demás puntos están en ( x, y ) donde x e y abarcan todos los números enteros positivos y negativos. Un triángulo reticular es cualquier triángulo dibujado dentro de un retículo 2D de modo que todos los vértices se encuentren en puntos del retículo. Por el teorema de Pick, un triángulo reticular tiene un área racional que es un número entero o un medio entero (tiene un denominador de 2). Si el triángulo reticular tiene lados enteros, entonces es heroniano con área entera. ^[20]

Además, se ha demostrado que todos los triángulos heronianos pueden dibujarse como triángulos reticulares. ^{[21] [22]} En consecuencia, un triángulo entero es heroniano si y solo si puede dibujarse como un triángulo reticular.

Hay una infinidad de triángulos heronianos primitivos (no pitagóricos) que se pueden colocar en una red de números enteros con todos los vértices, el incentro y los tres excentros en puntos de la red. Dos familias de tales triángulos son aquellos con parametrizaciones dadas anteriormente en #Triángulos heronianos con radios internos y externos enteros. ^{[19] : Teoría 5}

Triángulos automedianos enteros

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones (en orden opuesto) que los lados. Si x , y y z son los tres lados de un triángulo rectángulo, ordenados en orden creciente por tamaño, y si 2 x  <  z , entonces z , x  +  y e y −  x  son los tres lados de un triángulo automediano. Por ejemplo, el triángulo rectángulo con longitudes de lado 5, 12 y 13 se puede usar de esta manera para formar el triángulo automediano entero no trivial (es decir, no equilátero) más pequeño, con longitudes de lado 13, 17 y 7. ^[23]

En consecuencia, utilizando la fórmula de Euclides , que genera triángulos pitagóricos primitivos, es posible generar triángulos automedianos enteros primitivos como

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

con y coprimos e impares, y   (si la cantidad dentro de los signos de valor absoluto es negativa) o   (si esa cantidad es positiva) para satisfacer la desigualdad triangular . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

Una característica importante del triángulo automediano es que los cuadrados de sus lados forman una progresión aritmética . En concreto , ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$ ${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Triángulos enteros con propiedades angulares específicas

Triángulos enteros con una bisectriz de ángulo racional

Una familia de triángulos con lados enteros y con bisectriz racional del ángulo A está dada por ^[24] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

con números enteros . ${\displaystyle k>m>0}$

Triángulos enteros con números enterosnorte-sectores de todos los ángulos

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y las bisectrices de cada uno de los tres ángulos son números enteros. ^[25]

Existen infinitos triángulos no semejantes en los que los tres lados y los dos trisectrices de cada uno de los tres ángulos son números enteros. ^[25]

Sin embargo, para n > 3 no existen triángulos en los que los tres lados y los ( n  – 1) n -sectores de cada uno de los tres ángulos sean números enteros. ^[25]

Triángulos enteros con un ángulo con un coseno racional dado

Algunos triángulos enteros con un ángulo en el vértice A que tienen un coseno racional dado h / k ( h < 0 o > 0; k > 0) se dan por ^[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

donde p y q son cualesquiera números enteros positivos coprimos tales que p > qk .

Triángulos enteros con un ángulo de 60° (ángulos en progresión aritmética)

Todos los triángulos enteros con un ángulo de 60° tienen sus ángulos en progresión aritmética. Todos estos triángulos son proporcionales a: ^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

con números enteros coprimos m , n y 1 ≤  n  ≤  m o 3 m  ≤  n . A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor.

Los triángulos enteros con un ángulo de 60° también se pueden generar mediante ^[27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con números enteros coprimos m , n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 60° es opuesto al lado de longitud a ). A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor (por ejemplo, una solución de triángulo equilátero se obtiene tomando m = 2 y n = 1 , pero esto produce a = b = c = 3, que no es una solución primitiva). Véase también ^{[28] [29]}

Más precisamente, Si , entonces , en caso contrario . Dos pares diferentes y generan el mismo triple. Desafortunadamente, los dos pares pueden tener un mcd de 3, por lo que no podemos evitar los duplicados simplemente omitiendo ese caso. En cambio, los duplicados se pueden evitar yendo solo hasta . Todavía necesitamos dividir por 3 si el mcd es 3. La única solución para bajo las restricciones anteriores es para . Con esta restricción adicional, todos los triples se pueden generar de forma única. ${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle (m,m-n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/2}$ ${\displaystyle n=m/2}$ ${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$ ${\displaystyle m=2,n=1}$ ${\displaystyle n\leq m/2}$

Un triple de Eisenstein es un conjunto de números enteros que son las longitudes de los lados de un triángulo donde uno de los ángulos mide 60 grados.

Triángulos enteros con un ángulo de 120°

Los triángulos enteros con un ángulo de 120° se pueden generar mediante ^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con números enteros coprimos m ,  n con 0 <  n  <  m (el ángulo de 120° es opuesto al lado de longitud a ). A partir de aquí, todas las soluciones primitivas se pueden obtener dividiendo a , b y c por su máximo común divisor. La solución más pequeña, para m = 2 y n = 1, es el triángulo con lados (3,5,7). Véase también. ^{[28] [29]}

Más precisamente, Si , entonces , en caso contrario . Dado que el lado más grande a solo se puede generar con un solo par, cada triple primitivo se puede generar de dos maneras: una directamente con un mcd de 1 y otra indirectamente con un mcd de 3. Por lo tanto, para generar todos los triples primitivos de manera única, se puede simplemente agregar una condición adicional. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a un número racional arbitrario multiplicado por otro ángulo

Para los números enteros coprimos positivos h y k , el triángulo con los siguientes lados tiene ángulos , , y y por lo tanto dos ángulos en la razón h  : k , y sus lados son números enteros: ^[31] ${\displaystyle h\alpha }$ ${\displaystyle k\alpha }$ ${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

donde y p y q son números enteros coprimos tales que . ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

Triángulos enteros con un ángulo igual al doble de otro

Con un ángulo A de lado opuesto y un ángulo B de lado opuesto , se generan algunos triángulos con B  = 2 A por ^[32] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

con números enteros m , n tales que 0 <  n  <  m  < 2 n .

Todos los triángulos con B  = 2 A (ya sean enteros o no) satisfacen ^[33] ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

Triángulos enteros con un ángulo igual a 3/2 veces otro

La clase de equivalencia de triángulos semejantes se genera mediante ^[32] ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

con números enteros tales que , donde es la proporción áurea . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

Todos los triángulos (ya sea con lados enteros o no) satisfacen ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$ ${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

Triángulos enteros con un ángulo tres veces mayor que otro

Podemos generar la clase de equivalencia completa de triángulos similares que satisfacen B  = 3 A utilizando las fórmulas ^[34]

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

donde y son números enteros tales que . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

Todos los triángulos con B = 3 A (ya sea con lados enteros o no) satisfacen ${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

Triángulos enteros con tres ángulos racionales

El único triángulo entero con tres ángulos racionales (números racionales de grados, o equivalentemente fracciones racionales de una vuelta completa) es el triángulo equilátero . ^[2] Esto se debe a que los lados enteros implican tres cosenos racionales por la ley de los cosenos , y por el teorema de Niven un coseno racional coincide con un ángulo racional si y solo si el coseno es igual a 0, ±1/2 o ±1. Los únicos de estos que dan un ángulo estrictamente entre 0° y 180° son el valor del coseno 1/2 con el ángulo 60°, el valor del coseno -1/2 con el ángulo 120° y el valor del coseno 0 con el ángulo 90°. La única combinación de tres de estos, que permite el uso múltiple de cualquiera de ellos y suma 180°, son tres ángulos de 60°.

Triángulos enteros con razón entera entre el radio circunscrito y el radio interno

Se conocen las condiciones en términos de curvas elípticas para que un triángulo entero tenga una razón entera N entre el radio circunscrito y el radio interno . ^{[35] [36]} El caso más pequeño, el del triángulo equilátero , tiene N = 2. En cada caso conocido, es decir, es divisible por 8. ${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle N-2}$

Pares de triángulos 5-Con

Un par de triángulos 5-Con es un par de triángulos que son similares pero no congruentes y que comparten tres ángulos y dos longitudes laterales. Los triángulos 5-Con enteros primitivos, en los que los cuatro lados enteros distintos (dos lados que aparecen en cada uno de los dos triángulos y otro lado en cada triángulo) no comparten ningún factor primo, tienen triples de lados.

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$y ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

para números enteros coprimos positivos x e y . El ejemplo más pequeño es el par (8, 12, 18), (12, 18, 27), generado por x = 2, y = 3.

Triángulos enteros particulares

• El único triángulo con números enteros consecutivos para lados y área tiene lados (3, 4, 5) y área 6.
• El único triángulo con números enteros consecutivos para la altura y los lados tiene lados (13, 14, 15) y altura del lado 14 igual a 12.
• El triángulo (2, 3, 4) y sus múltiplos son los únicos triángulos con lados enteros en progresión aritmética y que tienen la propiedad del ángulo exterior complementario. ^{[37] [38] [39]} Esta propiedad establece que si el ángulo C es obtuso y si se deja caer un segmento desde B que se encuentra perpendicularmente con AC prolongado en P, entonces ∠CAB=2∠CBP.
• El triángulo (3, 4, 5) y sus múltiplos son los únicos triángulos rectángulos enteros que tienen lados en progresión aritmética. ^[39]
• El triángulo (4, 5, 6) y sus múltiplos son los únicos triángulos en los que un ángulo es el doble de otro y cuyos lados son enteros en progresión aritmética. ^[39]
• El triángulo (3, 5, 7) y sus múltiplos son los únicos triángulos con un ángulo de 120° y que tienen lados enteros en progresión aritmética. ^[39]
• El único triángulo entero con área = semiperímetro ^[40] tiene lados (3, 4, 5).
• Los únicos triángulos enteros con área = perímetro tienen lados ^{[40] [41]} (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) y (9, 10, 17). De estos, los dos primeros, pero no los tres últimos, son triángulos rectángulos.
• Existen triángulos enteros con tres medianas racionales . ^{[9] : p. 64} El más pequeño tiene lados (68, 85, 87). Otros son (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) y (327, 386, 409).
• No existen triángulos pitagóricos isósceles. ^[15]
• Los únicos triángulos pitagóricos primitivos para los cuales el cuadrado del perímetro es igual a un múltiplo entero del área son (3, 4, 5) con perímetro 12 y área 6 y con una razón del perímetro al cuadrado al área de 24; (5, 12, 13) con perímetro 30 y área 30 y con una razón del perímetro al cuadrado al área de 30; y (9, 40, 41) con perímetro 90 y área 180 y con una razón del perímetro al cuadrado al área de 45. ^[42]
• Existe un único par (hasta la semejanza) de un triángulo rectángulo racional y un triángulo isósceles racional que tienen el mismo perímetro y la misma área. El único par consiste en el triángulo (377, 135, 352) y el triángulo (366, 366, 132). ^[43] No existe ningún par de tales triángulos si también se requiere que los triángulos sean triángulos integrales primitivos. ^[43] Los autores destacan el hecho sorprendente de que la segunda afirmación puede demostrarse mediante una argumentación elemental (lo hacen en su apéndice A), mientras que la primera afirmación necesita matemáticas modernas altamente no triviales.

Véase también

• Triángulo de Brahmagupta , un triángulo heroniano en el que las longitudes de los lados son números enteros consecutivos.
• Pentágono de Robbins , un pentágono cíclico con lados enteros y área entera
• Ladrillo de Euler , un cuboide con aristas enteras y diagonales de caras enteras
• Tetraedro § Tetraedros enteros

Referencias

1. Carmichael, RD (1959) [1914]. "Análisis diofántico". En RD Carmichael (ed.). La teoría de los números y el análisis diofántico . Dover Publications. págs. 11–13].
2. Conway, JH, y Guy, RK, "El único triángulo racional", en El libro de los números , 1996, Springer-Verlag, págs. 201 y 228–239.
3. Tom Jenkyns y Eric Muller, Triangulares triples desde los techos hasta los pisos, American Mathematical Monthly 107:7 (agosto de 2000) 634–639
4. Ross Honsberger, Gemas matemáticas III , págs. 39-37
5. Zelator, K., "Ángulos y lados de triángulos en progresión y la ecuación diofántica x2+3y2=z2", archivo de la Universidad de Cornell, 2008
6. Jahnel, Jörg (2010). "¿Cuándo el (co)seno de un ángulo racional es igual a un número racional?". arXiv : 1006.2938 [math.HO].
7. Yiu, P., "Los triángulos heronianos son triángulos reticulares", American Mathematical Monthly 108 (2001), 261–263.
8. Carmichael, RD La teoría de los números y el análisis diofántico . Nueva York: Dover, 1952.
9. Sierpiński, Wacław. Triángulos pitagóricos , Publicaciones de Dover, 2003 (orig. 1962).
10. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A009111 (Lista de áreas ordenadas de triángulos pitagóricos)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 3 de marzo de 2017 .
11. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
12. Voles, Roger, "Soluciones enteras de a ⁻² + b ⁻² =d ⁻² ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271.
13. Buchholz, RH; MacDougall, JA (1999). "Cuadriláteros de Heron con lados en progresión aritmética o geométrica". Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 59 (2): 263–269. doi : 10.1017/S0004972700032883 . hdl : 1959.13/803798 .
14. Mitchell, Douglas W., "Triángulos de garza con ∠B=2∠A", Mathematical Gazette 91, julio de 2007, 326–328.
15. Sastry, KRS, "Construcción de n-gonos de Brahmagupta" Archivado el 5 de diciembre de 2020 en Wayback Machine , Forum Geometricorum 5 (2005): 119–126.
16. Yiu, P., "CRUX, Problema 2331, Propuesto por Paul Yiu" Archivado el 5 de septiembre de 2015 en Wayback Machine , Memorial University of Newfoundland (1998): 175-177
17. Yui, P. y Taylor, JS, "CRUX, Problema 2331, Solución" Archivado el 16 de febrero de 2017 en la Wayback Machine Memorial University of Newfoundland (1999): 185-186
18. Hermann Schubert, "Die Ganzzahligkeit in der Algebraischen Geometrie", Leipzig, 1905
19. Li Zhou, "Triángulos heronianos primitivos con radios internos y externos enteros", Forum Geometricorum 18, 2018, págs. 71–77.
20. Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008). "Polígonos cíclicos con lados y área racionales". Revista de teoría de números . 128 (1): 17–48. doi :10.1016/j.jnt.2007.05.005. MR  2382768.
21. P. Yiu, "Los triángulos heronianos son triángulos reticulares", American Mathematical Monthly 108 (2001), 261–263.
22. Marshall, Susan H. ; Perlis, Alexander R. (2013). "Los tetraedros heronianos son tetraedros reticulares" (PDF) . American Mathematical Monthly . 120 (2): 140–149. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.02.140. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.02.140. MR  3029939.
23. Parry, CF (1991). "Steiner–Lehmus y el triángulo automediano". The Mathematical Gazette . 75 (472): 151–154. doi :10.2307/3620241. JSTOR  3620241. S2CID  125374348..
24. Zelator, Konstantine, Espectro matemático 39(3), 2006/2007, 59−62.
25. "De Bruyn, Bart, "Sobre un problema relacionado con los n-sectores de un triángulo", Forum Geometricorum 5, 2005: pp. 47–52" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2020-12-05 . Consultado el 2012-05-04 .
26. Sastry, KRS, "Triángulos de lados enteros que contienen un coseno racional dado", Mathematical Gazette 68, diciembre de 1984, 289−290.
27. Gilder, J., Triángulos de lados enteros con un ángulo de 60°", Mathematical Gazette 66, diciembre de 1982, 261 266
28. Burn, Bob, "Triángulos con un ángulo de 60° y lados de longitud entera", Mathematical Gazette 87, marzo de 2003, 148–153.
29. Read, Emrys, "Sobre triángulos de lados enteros que contienen ángulos de 120° o 60°", Mathematical Gazette 90, julio de 2006, 299−305.
30. Selkirk, K., "Triángulos de lados enteros con un ángulo de 120°", Mathematical Gazette 67, diciembre de 1983, 251–255.
31. Hirschhorn, Michael D., "Triángulos conmensurables", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, págs. 61−63.
32. Deshpande, MN, "Algunos nuevos triples de números enteros y triángulos asociados", Mathematical Gazette 86, noviembre de 2002, 464–466.
33. Willson, William Wynne, "Una generalización de la propiedad del triángulo 4, 5, 6", Mathematical Gazette 60, junio de 1976, 130–131.
34. Parris, Richard (noviembre de 2007). "Triángulos conmensurables". Revista de matemáticas universitarias . 38 (5): 345–355. doi :10.1080/07468342.2007.11922259. S2CID  218549375.
35. "MacLeod, Allan J., "Triángulos enteros con R/r = N", Forum Geometricorum 10, 2010: pp. 149−155" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2022-01-20 . Consultado el 2012-05-02 .
36. Goehl, John F. Jr., "Más triángulos enteros con R/r = N", Forum Geometricorum 12, 2012: pp. 27−28
37. Barnard, T., y Silvester, J., "Teoremas del círculo y una propiedad del triángulo (2,3,4)", Mathematical Gazette 85, julio de 2001, 312−316.
38. Lord, N., "Una propiedad sorprendente del triángulo (2,3,4)", Mathematical Gazette 82, marzo de 1998, 93−94.
39. Mitchell, Douglas W., "Los triángulos 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 y 3:5:7", Mathematical Gazette 92, julio de 2008.
40. MacHale, D., "Ese triángulo 3,4,5 otra vez", Mathematical Gazette 73, marzo de 1989, 14−16.
41. LE Dickson , Historia de la teoría de los números , vol. 2 , 181.
42. Goehl, John F. Jr., "Triángulos pitagóricos con cuadrado de perímetro igual a un múltiplo entero del área", Forum Geometricorum 9 (2009): 281–282.
43. Hirakawa, Yoshinosuke; Matsumura, Hideki (2018). "Un par único de triángulos". Revista de teoría de números . 194 : 297–302. arXiv : 1809.09936 . doi :10.1016/j.jnt.2018.07.007. ISSN  0022-314X. S2CID  119661968.