Euclides ( en griego : Εὐκλείδης ; fl. 300 a. C.) fue un matemático griego activo como geómetra y lógico . [ 2] Considerado el «padre de la geometría», [ 3 ] es principalmente conocido por el tratado Elementos , que estableció las bases de la geometría que dominaron en gran medida el campo hasta principios del siglo XIX. Su sistema, ahora conocido como geometría euclidiana , implicó innovaciones en combinación con una síntesis de teorías de matemáticos griegos anteriores, incluidos Eudoxo de Cnido , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto . Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga , Euclides es generalmente considerado uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad y uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas .
Se sabe muy poco sobre la vida de Euclides, y la mayor parte de la información proviene de los eruditos Proclo y Pappus de Alejandría muchos siglos después. Los matemáticos islámicos medievales inventaron una biografía fantasiosa, y los eruditos bizantinos medievales y del Renacimiento temprano lo confundieron con el filósofo anterior Euclides de Megara . Ahora se acepta generalmente que pasó su carrera en Alejandría y vivió alrededor del año 300 a. C., después de los estudiantes de Platón y antes de Arquímedes. Hay algunas especulaciones sobre que Euclides estudió en la Academia Platónica y luego enseñó en el Musaeum ; se le considera como el puente entre la tradición platónica anterior en Atenas y la tradición posterior de Alejandría.
En los Elementos , Euclides dedujo los teoremas a partir de un pequeño conjunto de axiomas . También escribió obras sobre perspectiva , secciones cónicas , geometría esférica , teoría de números y rigor matemático . Además de los Elementos , Euclides escribió un texto temprano central en el campo de la óptica , Óptica , y obras menos conocidas, entre ellas Datos y fenómenos . La autoría de Euclides de Sobre las divisiones de figuras y Catóptrica ha sido cuestionada. Se cree que escribió muchas obras perdidas.
El nombre inglés 'Euclides' es la versión anglicanizada del nombre griego antiguo Eukleídes ( Εὐκλείδης ). [4] [a] Se deriva de 'eu-' (εὖ; 'bien') y 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que significa "renombrado, glorioso". [6] En inglés, por metonimia , 'Euclides' puede significar su obra más conocida, Elementos de Euclides , o una copia de la misma, [5] y a veces es sinónimo de 'geometría'. [2]
Al igual que con muchos matemáticos griegos antiguos , los detalles de la vida de Euclides son en su mayoría desconocidos. [7] Se le acepta como autor de cuatro tratados en su mayoría existentes: los Elementos , Óptica , Datos y Fenómenos , pero aparte de esto, no se sabe nada con certeza sobre él. [8] [b] La narrativa tradicional sigue principalmente el relato del siglo V d. C. de Proclo en su Comentario al Primer Libro de los Elementos de Euclides , así como algunas anécdotas de Pappus de Alejandría a principios del siglo IV. [4] [c]
Según Proclo, Euclides vivió poco después de varios de los seguidores de Platón ( m. 347 a. C.) y antes del matemático Arquímedes ( c. 287 - c. 212 a. C.); [d] específicamente, Proclo situó a Euclides durante el gobierno de Ptolomeo I ( r. 305/304-282 a. C.). [7] [8] [e] Se desconoce la fecha de nacimiento de Euclides; algunos estudiosos estiman alrededor de 330 [11] [12] o 325 a. C., [2] [13] pero otros se abstienen de especular. [14] Se presume que era de ascendencia griega, [11] pero se desconoce su lugar de nacimiento. [15] [f] Proclo sostuvo que Euclides siguió la tradición platónica , pero no hay una confirmación definitiva de esto. [17] Es poco probable que fuera contemporáneo de Platón, por lo que a menudo se presume que fue educado por los discípulos de Platón en la Academia Platónica de Atenas. [18] El historiador Thomas Heath apoyó esta teoría, señalando que la mayoría de los geómetras capaces vivían en Atenas, incluidos muchos de aquellos en cuyo trabajo se basó Euclides; [19] el historiador Michalis Sialaros considera que esto es una mera conjetura. [4] [20] En cualquier caso, el contenido de la obra de Euclides demuestra familiaridad con la tradición de la geometría platónica. [11]
En su Colección , Pappus menciona que Apolonio estudió con los estudiantes de Euclides en Alejandría , y esto se ha tomado para implicar que Euclides trabajó y fundó una tradición matemática allí. [8] [21] [19] La ciudad fue fundada por Alejandro Magno en 331 a. C., [22] y el gobierno de Ptolomeo I desde 306 a. C. en adelante le dio una estabilidad que fue relativamente única en medio de las caóticas guerras por la división del imperio de Alejandro . [23] Ptolomeo comenzó un proceso de helenización y encargó numerosas construcciones, construyendo la enorme institución Musaeum , que fue un centro líder de educación. [15] [g] Se especula que Euclides fue uno de los primeros eruditos del Musaeum. [22] Se desconoce la fecha de la muerte de Euclides; se ha especulado que murió alrededor del 270 a. C. [ 22]
A menudo se hace referencia a Euclides como "Euclides de Alejandría" para diferenciarlo del filósofo anterior Euclides de Megara , un alumno de Sócrates incluido en los diálogos de Platón con quien se lo confundió históricamente. [4] [14] Valerio Máximo , el compilador romano de anécdotas del siglo I d. C., sustituyó por error el nombre de Euclides por Eudoxo (siglo IV a. C.) como el matemático a quien Platón envió a quienes le preguntaban cómo duplicar el cubo . [26] Quizás sobre la base de esta mención de un Euclides matemático aproximadamente un siglo antes, Euclides se confundió con Euclides de Megara en fuentes bizantinas medievales (ahora perdidas), [27] lo que finalmente llevó a que a Euclides el matemático se le atribuyeran detalles de las biografías de ambos hombres y se lo describiera como Megarensis ( lit. ' de Megara ' ). [4] [28] El erudito bizantino Theodore Metochites ( c. 1300 ) confundió explícitamente a los dos Euclides, como lo hizo el impresor Erhard Ratdolt en la editio princeps de 1482 de la traducción latina de los Elementos de Campanus de Novara . [27] Después de que el matemático Bartolomeo Zamberti añadiera la mayoría de los fragmentos biográficos existentes sobre ambos Euclides al prefacio de su traducción de 1505 de los Elementos , las publicaciones posteriores pasaron por alto esta identificación. [27] Los eruditos del Renacimiento posteriores, particularmente Peter Ramus , reevaluaron esta afirmación, demostrando que era falsa a través de problemas de cronología y contradicciones en las fuentes tempranas. [27]
Las fuentes árabes medievales proporcionan una gran cantidad de información sobre la vida de Euclides, pero son completamente inverificables. [4] La mayoría de los académicos las consideran de dudosa autenticidad; [8] Heath, en particular, sostiene que la ficcionalización se hizo para fortalecer la conexión entre un matemático reverenciado y el mundo árabe. [17] También hay numerosas historias anecdóticas sobre Euclides, todas de historicidad incierta, que "lo retratan como un anciano amable y gentil". [29] La más conocida de ellas es la historia de Proclo sobre Ptolomeo preguntando a Euclides si había un camino más rápido para aprender geometría que leyendo sus Elementos , a lo que Euclides respondió con "no hay un camino real hacia la geometría". [29] Esta anécdota es cuestionable ya que una interacción muy similar entre Menecmo y Alejandro Magno está registrada por Estobeo . [30] Ambos relatos fueron escritos en el siglo V d. C., ninguno indica su fuente y ninguno aparece en la literatura griega antigua. [31]
Cualquier datación firme de la actividad de Euclides alrededor del 300 a. C. se pone en duda por la falta de referencias contemporáneas. [4] La primera referencia original a Euclides se encuentra en la carta introductoria de Apolonio a las Cónicas (principios del siglo II a. C.): "El tercer libro de las Cónicas contiene muchos teoremas asombrosos que son útiles tanto para las síntesis como para las determinaciones del número de soluciones de los lugares geométricos sólidos . La mayoría de estos, y los mejores de ellos, son nuevos. Y cuando los descubrimos, nos dimos cuenta de que Euclides no había hecho la síntesis del lugar geométrico en tres y cuatro líneas, sino solo un fragmento accidental de él, e incluso eso no se hizo felizmente". [26] Se especula que Los Elementos estuvo al menos parcialmente en circulación en el siglo III a. C., ya que Arquímedes y Apolonio dan por sentadas varias de sus proposiciones; [4] sin embargo, Arquímedes emplea una variante más antigua de la teoría de las proporciones que la que se encuentra en Los Elementos . [8] Las copias físicas más antiguas del material incluido en los Elementos , que datan de aproximadamente el año 100 d. C., se pueden encontrar en fragmentos de papiro desenterrados en un antiguo montón de basura de Oxirrinco , en el Egipto romano . Las citas directas más antiguas existentes a los Elementos en obras cuyas fechas se conocen con certeza no son hasta el siglo II d. C., por Galeno y Alejandro de Afrodisias ; en ese momento era un texto escolar estándar. [26] Algunos matemáticos griegos antiguos mencionan a Euclides por su nombre, pero generalmente se lo conoce como "ὁ στοιχειώτης" ("el autor de los Elementos "). [32] En la Edad Media, algunos eruditos sostenían que Euclides no era un personaje histórico y que su nombre surgía de una corrupción de términos matemáticos griegos. [33]
Euclides es más conocido por su tratado de trece libros, los Elementos ( griego : Στοιχεῖα ; Stoicheia ), considerado su obra magna . [3] [35] Gran parte de su contenido se origina en matemáticos anteriores, incluidos Eudoxo , Hipócrates de Quíos , Tales y Teeteto , mientras que otros teoremas son mencionados por Platón y Aristóteles. [36] Es difícil diferenciar el trabajo de Euclides del de sus predecesores, especialmente porque los Elementos esencialmente reemplazaron a las matemáticas griegas mucho más antiguas y ahora perdidas. [37] [h] El clasicista Markus Asper concluye que "aparentemente el logro de Euclides consiste en ensamblar el conocimiento matemático aceptado en un orden coherente y agregar nuevas pruebas para llenar los vacíos" y la historiadora Serafina Cuomo lo describió como un "depósito de resultados". [38] [36] A pesar de esto, Sialaros añade que "la estructura notablemente estricta de los Elementos revela un control del autor más allá de los límites de un simple editor". [9]
Los Elementos no tratan exclusivamente de geometría, como a veces se cree. [37] Tradicionalmente se divide en tres temas: geometría plana (libros 1-6), teoría básica de números (libros 7-10) y geometría de sólidos (libros 11-13), aunque el libro 5 (sobre proporciones) y el 10 (sobre líneas irracionales ) no encajan exactamente en este esquema. [39] [40] El corazón del texto son los teoremas dispersos por todo el texto. [35] Usando la terminología de Aristóteles, estos pueden separarse generalmente en dos categorías: "primeros principios" y "segundos principios". [41] El primer grupo incluye enunciados etiquetados como una "definición" ( griego : ὅρος o ὁρισμός ), "postulado" ( αἴτημα ), o una "noción común" ( κοινὴ ἔννοια ); [41] [42] sólo el primer libro incluye postulados —más tarde conocidos como axiomas — y nociones comunes. [37] [i] El segundo grupo consiste en proposiciones, presentadas junto con pruebas matemáticas y diagramas. [41] Se desconoce si Euclides pretendía que los Elementos fueran un libro de texto, pero su método de presentación lo hace un ajuste natural. [9] En conjunto, la voz del autor sigue siendo general e impersonal. [36]
El Libro 1 de los Elementos es fundamental para todo el texto. [37] Comienza con una serie de 20 definiciones de conceptos geométricos básicos como líneas , ángulos y varios polígonos regulares . [44] Euclides presenta luego 10 supuestos (ver tabla, derecha), agrupados en cinco postulados (axiomas) y cinco nociones comunes. [45] [k] Estos supuestos tienen como objetivo proporcionar la base lógica para cada teorema posterior, es decir, servir como un sistema axiomático . [46] [l] Las nociones comunes se refieren exclusivamente a la comparación de magnitudes . [48] Mientras que los postulados 1 a 4 son relativamente sencillos, [m] el quinto se conoce como el postulado de las paralelas y particularmente famoso. [48] [n] El Libro 1 también incluye 48 proposiciones, que pueden dividirse libremente en aquellas relacionadas con teoremas básicos y construcciones de geometría plana y congruencia de triángulos (1–26); líneas paralelas (27–34); el área de triángulos y paralelogramos (35-45); y el teorema de Pitágoras (46-48). [48] El último de estos incluye la prueba más antigua que sobrevive del teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notablemente delicada". [41]
El Libro 2 se entiende tradicionalmente como relacionado con el " álgebra geométrica ", aunque esta interpretación ha sido muy debatida desde la década de 1970; los críticos describen la caracterización como anacrónica, ya que los fundamentos del álgebra naciente ocurrieron muchos siglos después. [41] El segundo libro tiene un alcance más centrado y proporciona principalmente teoremas algebraicos para acompañar varias formas geométricas. [37] [48] Se centra en el área de rectángulos y cuadrados (ver Cuadratura ), y conduce a un precursor geométrico de la ley de los cosenos . [50] El Libro 3 se centra en los círculos, mientras que el 4º analiza los polígonos regulares , especialmente el pentágono . [37] [51] El Libro 5 es una de las secciones más importantes de la obra y presenta lo que generalmente se denomina como la "teoría general de la proporción". [52] [o] El Libro 6 utiliza la "teoría de las proporciones " en el contexto de la geometría plana. [37] Está construido casi en su totalidad a partir de su primera proposición: [53] "Los triángulos y paralelogramos que están a la misma altura son entre sí como sus bases". [54]
A partir del Libro 7 en adelante, el matemático Benno Artmann señala que "Euclides comienza de nuevo. No se utiliza nada de los libros anteriores". [55] La teoría de números está cubierta por los libros 7 a 10, el primero comienza con un conjunto de 22 definiciones de paridad , números primos y otros conceptos relacionados con la aritmética. [37] El Libro 7 incluye el algoritmo de Euclides , un método para encontrar el máximo común divisor de dos números. [55] El octavo libro analiza las progresiones geométricas , mientras que el libro 9 incluye la proposición, ahora llamada teorema de Euclides , de que hay infinitos números primos . [37] De los Elementos , el libro 10 es, con mucho, el más grande y complejo, y trata de números irracionales en el contexto de magnitudes. [41]
Los últimos tres libros (11-13) tratan principalmente de geometría de sólidos . [39] Al introducir una lista de 37 definiciones, el Libro 11 contextualiza los dos siguientes. [56] Aunque su carácter fundacional se asemeja al Libro 1, a diferencia de este último no presenta ningún sistema axiomático o postulados. [56] Las tres secciones del Libro 11 incluyen contenido sobre geometría de sólidos (1-19), ángulos sólidos (20-23) y sólidos paralelepipédicos (24-37). [56]
Además de los Elementos , han sobrevivido hasta nuestros días al menos cinco obras de Euclides que siguen la misma estructura lógica que los Elementos , con definiciones y proposiciones demostradas.
Se atribuyen de forma creíble otras cuatro obras a Euclides, pero se han perdido. [9]
Euclides es considerado generalmente, junto con Arquímedes y Apolonio de Perge, como uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. [11] Muchos comentaristas lo citan como una de las figuras más influyentes en la historia de las matemáticas . [2] El sistema geométrico establecido por los Elementos dominó durante mucho tiempo el campo; sin embargo, hoy en día ese sistema a menudo se conoce como " geometría euclidiana " para distinguirlo de otras geometrías no euclidianas descubiertas a principios del siglo XIX. [61] Entre los muchos homónimos de Euclides se encuentran la nave espacial Euclid de la Agencia Espacial Europea (ESA) , [62] el cráter lunar Euclides , [63] y el planeta menor 4354 Euclides . [64]
Los Elementos se considera a menudo, después de la Biblia , el libro más frecuentemente traducido, publicado y estudiado en la historia del mundo occidental . [61] Junto con la Metafísica de Aristóteles , Los Elementos es quizás el texto griego antiguo más exitoso, y fue el libro de texto matemático dominante en los mundos árabe y latino medieval. [61]
La primera edición en inglés de los Elementos fue publicada en 1570 por Henry Billingsley y John Dee . [27] El matemático Oliver Byrne publicó una conocida versión de los Elementos en 1847 titulada Los primeros seis libros de los Elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos coloreados en lugar de letras para facilitar el aprendizaje , que incluía diagramas coloreados destinados a aumentar su efecto pedagógico. [65] David Hilbert fue autor de una axiomatización moderna de los Elementos . [66]
