Derivada paramétrica

En cálculo , una derivada paramétrica es una derivada de una variable dependiente con respecto a otra variable dependiente que se toma cuando ambas variables dependen de una tercera variable independiente, generalmente considerada como "tiempo" (es decir, cuando las variables dependientes son x e y y están dadas por ecuaciones paramétricas en t ).

Primera derivada

Sean x ( t ) e y ( t ) las coordenadas de los puntos de la curva expresada como funciones de una variable t : La primera derivada implícita en estas ecuaciones paramétricas es donde la notación denota la derivada de x con respecto a t . Esto se puede derivar utilizando la regla de la cadena para derivadas: y dividiendo ambos lados por para obtener la ecuación anterior. $${\displaystyle y=y(t),\quad x=x(t).}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$$ ${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$

En general, todas estas derivadas ( dy / dt , dx / dt y dy / dx ) son en sí mismas funciones de t y, por lo tanto, pueden escribirse de forma más explícita como, por ejemplo, . ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(t)}$

Segunda derivada

La segunda derivada implícita en una ecuación paramétrica se obtiene mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. Este último resultado es útil para el cálculo de la curvatura . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\[1ex]&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}}$$

Ejemplo

Por ejemplo, considere el conjunto de funciones donde: Diferenciar ambas funciones con respecto a t conduce a las funciones Sustituyéndolas en la fórmula para la derivada paramétrica, obtenemos donde y se entienden como funciones de t . $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=4t^{2},&y(t)&=3t.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=8t,&{\frac {dy}{dt}}&=3.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$

Véase también

• Generalizaciones de la derivada

Referencias

• Derivada para forma paramétrica en PlanetMath .
• Harris, John W. y Stöcker, Horst (1998). "12.2.12 Diferenciación de funciones en representación paramétrica" . Manual de matemáticas y ciencias computacionales . Springer Science & Business Media. págs. 495–497. ISBN 0387947469.
• Briggs, William L; Cochran, Lyle; Gilett, Bernard; Schulz, Eric. "11 curvas paramétricas y polares". Cálculo para científicos e ingenieros: primeros trascendentales . Pearson. pág. 734.