Par ordenado

Par de objetos matemáticos

La geometría analítica asocia a cada punto del plano euclidiano un par ordenado. La elipse roja está asociada al conjunto de todos los pares ( x , y ) tales que ⁠x2^​/4⁠ + y ² = 1 .

En matemáticas , un par ordenado , denotado ( a , b ), es un par de objetos en el que su orden es significativo. El par ordenado ( a , b ) es diferente del par ordenado ( b , a ), a menos que a = b . Por el contrario, el par desordenado , denotado { a , b }, es igual al par desordenado { b , a }.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o secuencias (a veces, listas en un contexto informático) de longitud 2. Los pares ordenados de escalares a veces se denominan vectores bidimensionales . (Técnicamente, esto es un abuso de la terminología, ya que un par ordenado no necesita ser un elemento de un espacio vectorial ). Las entradas de un par ordenado pueden ser otros pares ordenados, lo que permite la definición recursiva de n -tuplas ordenadas (listas ordenadas de n objetos). Por ejemplo, la terna ordenada ( a , b , c ) se puede definir como ( a , ( b , c )), es decir, como un par anidado en otro.

En el par ordenado ( a , b ), el objeto a se denomina primera entrada y el objeto b , segunda entrada del par. Alternativamente, los objetos se denominan primer y segundo componentes , primera y segunda coordenadas o proyecciones izquierda y derecha del par ordenado.

Los productos cartesianos y las relaciones binarias (y, por tanto, las funciones ) se definen en términos de pares ordenados, véase la imagen.

Generalidades

Sean y pares ordenados. Entonces la propiedad característica (o definitoria ) del par ordenado es: ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ $${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}$$

El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera entrada está en algún conjunto A y cuya segunda entrada está en algún conjunto B se denomina producto cartesiano de A y B , y se escribe A × B . Una relación binaria entre los conjuntos A y B es un subconjunto de A × B .

La notación ( a , b ) se puede utilizar para otros fines, en particular para denotar intervalos abiertos en la línea de números reales . En tales situaciones, el contexto generalmente dejará en claro qué significado se pretende dar. ^{[1] [2]} Para mayor claridad, el par ordenado se puede denotar con la notación variante , pero esta notación también tiene otros usos. ${\textstyle \langle a,b\rangle }$

La izquierda y la derechaLa proyección de un par p se denota habitualmente por π ₁ ( p ) y π ₂ ( p ), o por π _ℓ ( p ) y π _r ( p ), respectivamente. En contextos en los quese consideran n -tuplas arbitrarias, π^yo
_​( t ) es una notación común para el i -ésimo componente de una n -tupla t .

Definiciones informales y formales

En algunos libros de texto introductorios de matemáticas se da una definición informal (o intuitiva) de par ordenado, como

Para dos objetos cualesquiera a y b , el par ordenado ( a , b ) es una notación que especifica los dos objetos a y b , en ese orden. ^[3]

Esto suele ir seguido de una comparación con un conjunto de dos elementos, señalando que en un conjunto a y b deben ser diferentes, pero en un par ordenado pueden ser iguales y que si bien el orden de enumeración de los elementos de un conjunto no importa, en un par ordenado cambiar el orden de entradas distintas cambia el par ordenado.

Esta "definición" no es satisfactoria porque es sólo descriptiva y se basa en una comprensión intuitiva del orden . Sin embargo, como se señala a veces, no habrá ningún daño en confiar en esta descripción y casi todo el mundo piensa en los pares ordenados de esta manera. ^[4]

Un enfoque más satisfactorio es observar que la propiedad característica de los pares ordenados dada anteriormente es todo lo que se requiere para comprender el papel de los pares ordenados en matemáticas. Por lo tanto, el par ordenado puede tomarse como una noción primitiva , cuyo axioma asociado es la propiedad característica. Este fue el enfoque adoptado por el grupo de N. Bourbaki en su Teoría de conjuntos , publicada en 1954. Sin embargo, este enfoque también tiene sus inconvenientes, ya que tanto la existencia de pares ordenados como su propiedad característica deben asumirse axiomáticamente. ^[3]

Otra forma de tratar rigurosamente los pares ordenados es definirlos formalmente en el contexto de la teoría de conjuntos. Esto se puede hacer de varias maneras y tiene la ventaja de que la existencia y la propiedad característica se pueden demostrar a partir de los axiomas que definen la teoría de conjuntos. Una de las versiones más citadas de esta definición se debe a Kuratowski (ver más abajo) y su definición fue utilizada en la segunda edición de la Teoría de conjuntos de Bourbaki , publicada en 1970. Incluso aquellos libros de texto matemáticos que dan una definición informal de pares ordenados a menudo mencionarán la definición formal de Kuratowski en un ejercicio.

Definición del par ordenado utilizando la teoría de conjuntos

Si se acepta que la teoría de conjuntos es un fundamento atractivo de las matemáticas , entonces todos los objetos matemáticos deben definirse como conjuntos de algún tipo. Por lo tanto, si el par ordenado no se considera primitivo, debe definirse como un conjunto. ^[5] A continuación se ofrecen varias definiciones teóricas de conjuntos del par ordenado (véase también ^[6] ).

Definición de Wiener

Norbert Wiener propuso la primera definición teórica de conjuntos del par ordenado en 1914: ^[7] Observó que esta definición hacía posible definir los tipos de Principia Mathematica como conjuntos. Principia Mathematica había tomado los tipos, y por lo tanto las relaciones de todas las aridades, como primitivos . $${\displaystyle \left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.}$$

Wiener utilizó {{ b }} en lugar de { b } para que la definición fuera compatible con la teoría de tipos , según la cual todos los elementos de una clase deben ser del mismo "tipo". Con b anidado dentro de un conjunto adicional, su tipo es igual a 's. ${\displaystyle \{\{a\},\emptyset \}}$

Definición de Hausdorff

Casi al mismo tiempo que Wiener (1914), Felix Hausdorff propuso su definición: "donde 1 y 2 son dos objetos distintos diferentes de a y b". ^[8] $${\displaystyle (a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}}$$

Definición de Kuratowski

En 1921 Kazimierz Kuratowski ofreció la definición ahora aceptada ^{[9] [10]} del par ordenado ( a , b ): Cuando la primera y la segunda coordenadas son idénticas, la definición obtiene: $${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.}$$ $${\displaystyle (x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}}$$

Dado un par ordenado p , la propiedad " x es la primera coordenada de p " se puede formular como: La propiedad " x es la segunda coordenada de p " se puede formular como: En el caso de que las coordenadas izquierda y derecha sean idénticas, la conjunción derecha es trivialmente verdadera, ya que Y ₁ ≠ Y ₂ nunca es el caso. $${\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y.}$$ $${\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})).}$$ ${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}$

Si entonces: ${\displaystyle p=(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

${\displaystyle \bigcap p=\bigcap {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cap \{x,y\}=\{x\},}$

${\displaystyle \bigcup p=\bigcup {\bigg \{}\{x\},\{x,y\}{\bigg \}}=\{x\}\cup \{x,y\}=\{x,y\}.}$

Así es como podemos extraer la primera coordenada de un par (usando la notación de operación iterada para intersección arbitraria y unión arbitraria ): $${\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p=\bigcup \{x\}=x.}$$

Así es como se puede extraer la segunda coordenada: $${\displaystyle \pi _{2}(p)=\bigcup \left\{\left.a\in \bigcup p\,\right|\,\bigcup p\neq \bigcap p\rightarrow a\notin \bigcap p\right\}=\bigcup \left\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,\{x,y\}\neq \{x\}\rightarrow a\notin \{x\}\right\}=\bigcup \{y\}=y.}$$

(si , entonces el conjunto {y} podría obtenerse de forma más sencilla: , pero la fórmula anterior también tiene en cuenta el caso cuando x=y) ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \{y\}=\{\left.a\in \{x,y\}\,\right|\,a\notin \{x\}\}}$

Nótese que y son funciones generalizadas , en el sentido de que sus dominios y codominios son clases propias . ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$

Variantes

La definición de par ordenado que Kuratowski dio anteriormente es "adecuada" en el sentido de que satisface la propiedad característica que debe satisfacer un par ordenado, a saber, que . En particular, expresa adecuadamente "orden", en el sentido de que es falso a menos que . Existen otras definiciones, de complejidad similar o menor, que son igualmente adecuadas: ${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y)}$ ${\displaystyle (a,b)=(b,a)}$ ${\displaystyle b=a}$

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\{1,b\}\}.}$^[11]

La definición inversa es simplemente una variante trivial de la definición de Kuratowski, y como tal no tiene interés independiente. La definición short se llama así porque requiere dos pares de llaves en lugar de tres . Probar que short satisface la propiedad característica requiere el axioma de regularidad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . ^[12] Además, si uno usa la construcción de la teoría de conjuntos de von Neumann de los números naturales , entonces 2 se define como el conjunto {0, 1} = {0, {0}}, que es indistinguible del par (0, 0) _short . Otra desventaja más del par short es el hecho de que, incluso si a y b son del mismo tipo, los elementos del par short no lo son. (Sin embargo, si a  =  b entonces la versión short sigue teniendo cardinalidad 2, que es algo que uno podría esperar de cualquier "par", incluido cualquier "par ordenado").

Demostrar que las definiciones satisfacen la propiedad característica

Demuestre: ( a , b ) = ( c , d ) si y sólo si a = c y b = d .

Kuratowski :
Si . Si a = c y b = d , entonces {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}. Por lo tanto ( a, b ) _K = ( c , d ) _K .

Sólo si . Dos casos: a = b , y a ≠ b .

Si a = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a , b }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }}.

{{ c }, { c , d }} = ( c , d ) _K = ( a , b ) _K = {{ a }}.

Por lo tanto, { c } = { c , d } = { a }, lo que implica que a = c y a = d . Por hipótesis, a = b . Por lo tanto , b = d .

Si a ≠ b , entonces ( a , b ) _K = ( c , d ) _K implica {{ a }, { a , b }} = {{ c }, { c , d }}.

Supóngase { c , d } = { a }. Entonces c = d = a , y por lo tanto {{ c }, { c , d }} = {{ a }, { a , a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Pero entonces {{ a }, { a, b }} también sería igual a {{ a }}, de modo que b = a lo que contradice a ≠ b .

Supongamos que { c } = { a , b }. Entonces a = b = c , lo que también contradice a ≠ b .

Por lo tanto, { c } = { a }, de modo que c = a y { c , d } = { a , b }.

Si d = a fuera cierto, entonces { c , d } = { a , a } = { a } ≠ { a , b }, una contradicción. Por lo tanto, d = b es el caso, de modo que a = c y b = d .

Inversa :
( a, b ) _inversa = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

Si . Si ( a, b ) _inversa = ( c, d ) _inversa , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K . Por lo tanto, b = d y a = c .

Sólo si . Si a = c y b = d , entonces {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Por lo tanto ( a, b ) _inversa = ( c, d ) _inversa .

Corto: ^[13]

Si : Si a = c y b = d , entonces { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Por lo tanto, ( a, b ) _short = ( c, d ) _short .

Sólo si : Supóngase { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Entonces a está en el lado izquierdo y, por lo tanto, en el lado derecho. Como los conjuntos iguales tienen elementos iguales, uno de los casos a = c o a = { c, d } debe ser el caso.

Si a = { c, d }, entonces por un razonamiento similar al anterior, { a, b } está en el lado derecho, por lo que { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

Si { a, b } = c entonces c está en { c, d } = a y a está en c , y esta combinación contradice el axioma de regularidad, ya que { a, c } no tiene ningún elemento mínimo bajo la relación "elemento de".

Si { a, b } = { c, d }, entonces a es un elemento de a , de a = { c, d } = { a, b }, contradiciendo nuevamente la regularidad.

Por lo tanto, a = c debe cumplirse.

Nuevamente vemos que { a, b } = c o { a, b } = { c, d }.

La opción { a, b } = c y a = c implica que c es un elemento de c , lo que contradice la regularidad.

Entonces tenemos a = c y { a, b } = { c, d }, y entonces: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, entonces b = d .

Definición de Quine-Rosser

Rosser (1953) ^[14] empleó una definición del par ordenado debido a Quine que requiere una definición previa de los números naturales . Sea el conjunto de números naturales y defina primero La función incrementa su argumento si es un número natural y lo deja como está en caso contrario; el número 0 no aparece como valor funcional de . Como es el conjunto de los elementos de no en continuar con Esta es la imagen de un conjunto bajo , a veces denotado por también. Aplicar la función a un conjunto x simplemente incrementa cada número natural en él. En particular, nunca contiene el número 0, de modo que para cualquier conjunto x e y , Además, defina Por esto, siempre contiene el número 0. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \sigma (x):={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} ,\\x+1,&{\text{if }}x\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\setminus \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \varphi (x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ''x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ $${\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y).}$$ $${\displaystyle \psi (x):=\sigma [x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}.}$$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Por último, defina el par ordenado ( A , B ) como la unión disjunta (que está en notación alternativa). $${\displaystyle (A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$$ ${\displaystyle \varphi ''A\cup \psi ''B}$

Extrayendo todos los elementos del par que no contienen 0 y deshaciendo la operación se obtiene A. Asimismo, B se puede recuperar de los elementos del par que sí contienen 0. ^[15] ${\displaystyle \varphi }$

Por ejemplo, el par se codifica como se proporciona . ${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$ ${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$ ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\notin \mathbb {N} }$

En la teoría de tipos y en sus derivaciones, como la teoría de conjuntos axiomática NF , el par Quine-Rosser tiene el mismo tipo que sus proyecciones y, por lo tanto, se denomina par ordenado de "nivel de tipo". Por lo tanto, esta definición tiene la ventaja de permitir que una función , definida como un conjunto de pares ordenados, tenga un tipo solo 1 mayor que el tipo de sus argumentos. Esta definición funciona solo si el conjunto de números naturales es infinito. Este es el caso en NF , pero no en la teoría de tipos o en NFU . J. Barkley Rosser demostró que la existencia de un par ordenado de nivel de tipo (o incluso un par ordenado de "elevación de tipo en 1") implica el axioma de infinito . Para una discusión extensa del par ordenado en el contexto de las teorías de conjuntos de Quine, véase Holmes (1998). ^[16]

Definición de Cantor-Frege

Al principio del desarrollo de la teoría de conjuntos, antes de que se descubrieran las paradojas, Cantor siguió a Frege al definir el par ordenado de dos conjuntos como la clase de todas las relaciones que se dan entre estos conjuntos, asumiendo que la noción de relación es primitiva: ^[17] $${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$$

Esta definición es inadmisible en la mayoría de las teorías de conjuntos formalizadas modernas y es metodológicamente similar a definir el cardinal de un conjunto como la clase de todos los conjuntos equipotentes con el conjunto dado. ^[18]

Definición de Morse

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley hace un uso libre de clases propias . ^[19] Morse definió el par ordenado de modo que sus proyecciones pudieran ser clases propias así como conjuntos. (La definición de Kuratowski no lo permite). Primero definió pares ordenados cuyas proyecciones son conjuntos a la manera de Kuratowski. Luego redefinió el par donde los productos cartesianos componentes son pares de conjuntos de Kuratowski y donde $${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))}$$ $${\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}\mid t\in x\}}$$

Esto hace posibles pares cuyas proyecciones son clases propias. La definición de Quine-Rosser anterior también admite clases propias como proyecciones. De manera similar, el triple se define como una 3-tupla de la siguiente manera: $${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))\cup (\{2\}\times s(z))}$$

El uso del conjunto singleton que tiene un conjunto vacío insertado permite que las tuplas tengan la propiedad de unicidad de que si a es una n -tupla y b es una m -tupla y a = b entonces n = m . Los triples ordenados que se definen como pares ordenados no tienen esta propiedad con respecto a los pares ordenados. ${\displaystyle s(x)}$

Definición axiomática

Los pares ordenados también pueden introducirse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) de manera axiomática simplemente agregando a ZF un nuevo símbolo de función de aridad 2 (generalmente se omite) y un axioma definitorio para : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}$$

Esta definición es aceptable porque esta extensión de ZF es una extensión conservadora . ^{[ cita requerida ]}

La definición ayuda a evitar los llamados teoremas accidentales como (a,a) = {{a}}, y {a} ∈ (a,b), si se utilizó la definición de Kuratowski (a,b) = {{a}, {a,b}}.

Teoría de categorías

Diagrama conmutativo para el producto de conjuntos X ₁ × X ₂ .

Un producto de teoría de categorías A × B en una categoría de conjuntos representa el conjunto de pares ordenados, con el primer elemento proveniente de A y el segundo proveniente de B . En este contexto, la propiedad característica anterior es una consecuencia de la propiedad universal del producto y del hecho de que los elementos de un conjunto X pueden identificarse con morfismos desde 1 (un conjunto de un elemento) hasta X . Si bien diferentes objetos pueden tener la propiedad universal, todos son naturalmente isomorfos .

Véase también

• Producto cartesiano
• Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck
• Trybulec, Andrzej, 1989, "Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck", Journal of Formalized Mathematics (definición Def5 de "pares ordenados" como { { x,y }, { x } })

Referencias

1. Lay, Steven R. (2005), Análisis / Con una introducción a la prueba (4.ª ed.), Pearson / Prentice Hall, pág. 50, ISBN 978-0-13-148101-5
2. Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica / Introducción a las matemáticas abstractas (3.ª ed.), Chapman & Hall / CRC, pág. 79, ISBN 978-1-58488-449-1
3. Wolf, Robert S. (1998), Prueba, lógica y conjetura / La caja de herramientas del matemático , WH Freeman and Co., pág. 164, ISBN 978-0-7167-3050-7
4. Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988), Fundamentos de las matemáticas superiores , PWS-Kent, pág. 80, ISBN 0-87150-164-3
5. Quine ha sostenido que las implementaciones de la teoría de conjuntos del concepto de par ordenado constituyen un paradigma para la clarificación de las ideas filosóficas (véase " Palabra y objeto ", sección 53). La noción general de tales definiciones o implementaciones se analiza en "Razonamiento sobre entidades teóricas" de Thomas Forster.
6. Dipert, Randall. "Representaciones teóricas de conjuntos de pares ordenados y su adecuación para la lógica de relaciones".
7. El artículo de Wiener "Una simplificación de la lógica de las relaciones" se reimprime, junto con un valioso comentario en las páginas 224 y siguientes en van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979–1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.). van Heijenoort plantea la simplificación de esta manera: "Al dar una definición del par ordenado de dos elementos en términos de operaciones de clase, la nota redujo la teoría de las relaciones a la de las clases". 
8. cf. introducción al artículo de Wiener en van Heijenoort 1967:224
9. cf introducción al artículo de Wiener en van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observa que el conjunto resultante que representa el par ordenado "tiene un tipo superior en 2 al de los elementos (cuando son del mismo tipo)"; ofrece referencias que muestran cómo, bajo ciertas circunstancias, el tipo puede reducirse a 1 o 0.
10. Kuratowski, Casimiro (1921). "Sobre la noción de orden en la teoría de los conjuntos". Fundamentos Mathematicae . 2 (1): 161–171. doi : 10.4064/fm-2-1-161-171 .
11. Esto difiere de la definición de Hausdorff en que no requiere que los dos elementos 0 y 1 sean distintos de a y b .
12. Tourlakis, George (2003) Lecciones de lógica y teoría de conjuntos. Vol. 2: Teoría de conjuntos . Cambridge Univ. Press. Proposición III.10.1.
13. Para una prueba formal de Metamath sobre la adecuación de short , véase aquí (opthreg). Véase también Tourlakis (2003), Proposición III.10.1.
14. J. Barkley Rosser , 1953. Lógica para matemáticos . McGraw–Hill.
15. Holmes, M. Randall: On Ordered Pairs , en: Boise State, 29 de marzo de 2009. El autor utiliza for y for . ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \psi }$
16. Holmes, M. Randall (1998) Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal Archivado el 11 de abril de 2011 en Wayback Machine . Academia-Bruylant. El editor ha accedido gentilmente a permitir la difusión de esta monografía a través de la web.
17. Frege, Gottlob (1893). "144". Grundgesetze der Arithmetik (PDF) . Jena: Verlag Hermann Pohle.
18. Kanamori, Akihiro (2007). Teoría de conjuntos de Cantor a Cohen (PDF) . Elsevier BV.pág. 22, nota al pie 59
19. Morse, Anthony P. (1965). Una teoría de conjuntos . Prensa académica.