Nicolas Bourbaki ( en francés: [nikɔla buʁbaki] ) es el seudónimo colectivo de un grupo de matemáticos, predominantemente ex alumnos franceses de la École normale supérieure (ENS). Fundado en 1934-1935, el grupo Bourbaki originalmente pretendía preparar un nuevo libro de texto en análisis . Con el tiempo, el proyecto se volvió mucho más ambicioso y se convirtió en una gran serie de libros de texto publicados bajo el nombre de Bourbaki, destinados a tratar las matemáticas puras modernas . La serie se conoce colectivamente como Éléments de mathématique ( Elementos de matemáticas ), el trabajo central del grupo. Los temas tratados en la serie incluyen teoría de conjuntos , álgebra abstracta , topología , análisis, grupos de Lie y álgebras de Lie .
Bourbaki se fundó como respuesta a los efectos de la Primera Guerra Mundial , que causó la muerte de una generación de matemáticos franceses; como resultado, los jóvenes profesores universitarios se vieron obligados a utilizar textos anticuados. Mientras enseñaba en la Universidad de Estrasburgo , Henri Cartan se quejó a su colega André Weil de la insuficiencia del material de curso disponible, lo que impulsó a Weil a proponer una reunión con otros en París para escribir colectivamente un libro de texto de análisis moderno. Los fundadores principales del grupo fueron Cartan, Claude Chevalley , Jean Delsarte , Jean Dieudonné y Weil; otros participaron brevemente durante los primeros años del grupo, y la membresía ha cambiado gradualmente con el tiempo. Aunque los ex miembros hablan abiertamente de su participación pasada en el grupo, Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto su membresía actual.
El nombre del grupo deriva del general francés del siglo XIX Charles-Denis Bourbaki , que tuvo una carrera de campañas militares exitosas antes de sufrir una dramática pérdida en la guerra franco-prusiana . [3] Por lo tanto, el nombre era familiar para los estudiantes franceses de principios del siglo XX. Weil recordó una broma estudiantil de la ENS en la que un estudiante de último año se hizo pasar por profesor y presentó un "teorema de Bourbaki"; el nombre fue adoptado más tarde.
El grupo Bourbaki celebra periódicamente conferencias privadas con el fin de redactar y ampliar los Elementos . Los temas se asignan a subcomités, los borradores se debaten y se requiere un acuerdo unánime antes de que un texto se considere apto para su publicación. Aunque es un proceso lento y laborioso, el resultado es un trabajo que cumple con los estándares del grupo en cuanto a rigor y generalidad. El grupo también está asociado con el Séminaire Bourbaki , una serie regular de conferencias presentadas por miembros y no miembros del grupo, que también se publican y difunden como documentos escritos. Bourbaki mantiene una oficina en la ENS. [4]
Nicolas Bourbaki fue influyente en las matemáticas del siglo XX, particularmente a mediados del siglo, cuando aparecieron con frecuencia volúmenes de los Éléments . El grupo es conocido entre los matemáticos por su presentación rigurosa y por introducir la noción de estructura matemática , una idea relacionada con el concepto más amplio e interdisciplinario del estructuralismo . [5] [6] [7] El trabajo de Bourbaki informó la Nueva Matemática , una tendencia en la educación matemática elemental durante la década de 1960. Aunque el grupo sigue activo, se considera que su influencia ha disminuido debido a la publicación poco frecuente de nuevos volúmenes de los Éléments . Sin embargo, desde 2012, el grupo ha publicado cuatro volúmenes nuevos (o significativamente revisados), el más reciente en 2023 (que trata la teoría espectral ). Además, se están preparando al menos tres volúmenes más.
Charles-Denis Sauter Bourbaki fue un general de éxito durante la era de Napoleón III , que sirvió en la Guerra de Crimea y otros conflictos. Sin embargo, durante la guerra franco-prusiana , Charles-Denis Bourbaki sufrió una importante derrota en la que el Ejército del Este , bajo su mando, se retiró a través de la frontera suiza y fue desarmado. El general intentó suicidarse sin éxito. La dramática historia de su derrota fue conocida en la conciencia popular francesa después de su muerte. [8] [9]
A principios del siglo XX, la Primera Guerra Mundial afectó a los europeos de todas las profesiones y clases sociales, incluidos los matemáticos y los estudiantes varones que lucharon y murieron en el frente. Por ejemplo, el matemático francés Gaston Julia , pionero en el estudio de los fractales , perdió la nariz durante la guerra y usó una correa de cuero sobre la parte afectada de su rostro durante el resto de su vida. Las muertes de estudiantes de la ENS resultaron en una generación perdida en la comunidad matemática francesa; [10] la proporción estimada de estudiantes de matemáticas de la ENS (y de estudiantes franceses en general) que murieron en la guerra varía de una cuarta parte a la mitad, dependiendo de los intervalos de tiempo (c. 1900-1918, especialmente 1910-1916) y las poblaciones consideradas. [11] [12] Además, el fundador de Bourbaki, André Weil , señaló en sus memorias El aprendizaje de un matemático que Francia y Alemania adoptaron enfoques diferentes con su intelectualidad durante la guerra: mientras Alemania protegía a sus jóvenes estudiantes y científicos, Francia, en cambio, los enviaba al frente, debido a la cultura francesa del igualitarismo . [12]
Una generación posterior de estudiantes de matemáticas asistió a la ENS durante la década de 1920, incluidos Weil y otros, los futuros fundadores de Bourbaki. Durante su época de estudiante, Weil recordó una broma en la que un estudiante de último año, Raoul Husson , se hizo pasar por profesor y dio una conferencia de matemáticas, que terminó con una consigna: "Teorema de Bourbaki: debes demostrar lo siguiente...". Weil también estaba al tanto de un truco similar alrededor de 1910 [3] en el que un estudiante afirmó ser de la nación ficticia y empobrecida de "Poldevia" y solicitó donaciones al público. [13] [14] Weil tenía un fuerte interés en los idiomas y la cultura india , habiendo aprendido sánscrito y leído el Bhagavad Gita . [15] [16] Después de graduarse de la ENS y obtener su doctorado, Weil tomó un período de enseñanza en la Universidad Musulmana de Aligarh en la India. Mientras estuvo allí, Weil conoció al matemático Damodar Kosambi , quien estaba involucrado en una lucha de poder con uno de sus colegas. Weil sugirió que Kosambi escribiera un artículo con material atribuido a un tal "Bourbaki", para mostrarle su conocimiento a su colega. [17] Kosambi aceptó la sugerencia, atribuyendo el material discutido en el artículo al "poco conocido matemático ruso D. Bourbaki , quien fue envenenado durante la Revolución". Fue el primer artículo en la literatura matemática con material atribuido al epónimo "Bourbaki". [18] [19] [20] La estadía de Weil en la India fue breve; intentó renovar el departamento de matemáticas en Aligarh, sin éxito. [21] La administración de la universidad planeó despedir a Weil y promover a su colega Vijayaraghavan al puesto vacante. Sin embargo, Weil y Vijayaraghavan se respetaban mutuamente. En lugar de desempeñar un papel en el drama, Vijayaraghavan renunció y luego informó a Weil del plan. [22] Weil regresó a Europa para buscar otro puesto de profesor. Terminó en la Universidad de Estrasburgo, donde se unió a su amigo y colega Henri Cartan. [23]
Durante el tiempo que estuvieron juntos en Estrasburgo, Weil y Cartan se quejaban regularmente el uno al otro de la insuficiencia del material disponible para la enseñanza del cálculo . En sus memorias Apprenticeship , Weil describió su solución en los siguientes términos: "Un día de invierno, hacia finales de 1934, se me ocurrió una gran idea que pondría fin a estas incesantes interrogaciones de mi camarada. 'Somos cinco o seis amigos', le dije algún tiempo después, 'que estamos a cargo del mismo plan de estudios de matemáticas en varias universidades. Reunámonos todos y regulemos estos asuntos de una vez por todas, y después de esto, me libraré de estas preguntas'. Yo no sabía que Bourbaki había nacido en ese momento". [23] Cartan confirmó el relato. [24]
La primera reunión no oficial del colectivo Bourbaki tuvo lugar al mediodía del lunes 10 de diciembre de 1934 en el Café Grill-Room A. Capoulade, París, en el Barrio Latino . [25] [26] [27] [28] [b] Seis matemáticos estuvieron presentes: Henri Cartan , Claude Chevalley , Jean Delsarte , Jean Dieudonné , René de Possel y André Weil . La mayoría del grupo tenía su base fuera de París y estaban en la ciudad para asistir al Seminario Julia, una conferencia preparada con la ayuda de Gaston Julia en la que se presentaron varios futuros miembros y asociados de Bourbaki. [30] [31] [c] El grupo resolvió escribir colectivamente un tratado sobre análisis, con el propósito de estandarizar la enseñanza del cálculo en las universidades francesas. El proyecto tenía como objetivo principal reemplazar el texto de Édouard Goursat , que el grupo consideraba muy anticuado, y mejorar su tratamiento del teorema de Stokes . [27] [35] [36] [37] Los fundadores también estaban motivados por el deseo de incorporar ideas de la escuela de Gotinga , en particular de los exponentes Hilbert , Noether y BL van der Waerden . Además, tras la Primera Guerra Mundial, hubo un cierto impulso nacionalista para salvar a las matemáticas francesas del declive, especialmente en competencia con Alemania. Como afirmó Dieudonné en una entrevista: "Sin querer presumir, puedo decir que fue Bourbaki quien salvó a las matemáticas francesas de la extinción". [38]
Jean Delsarte se mostró particularmente favorable al aspecto colectivo del proyecto propuesto, observando que un estilo de trabajo de este tipo podría aislar el trabajo del grupo contra posibles reclamaciones individuales posteriores de derechos de autor . [35] [39] [d] A medida que se discutían varios temas, Delsarte también sugirió que el trabajo comenzara en los términos más abstractos y axiomáticos posibles, tratando todos los requisitos previos matemáticos para el análisis desde cero. [41] [42] El grupo estuvo de acuerdo con la idea, y esta área fundamental del trabajo propuesto se denominó "Paquete abstracto" (Paquet Abstrait). [43] [44] [45] Se adoptaron títulos de trabajo : el grupo se autodenominó Comité para el Tratado de Análisis , y su trabajo propuesto se llamó Tratado de Análisis ( Traité d'analyse ). [46] [47] En total, el colectivo celebró diez reuniones quincenales preliminares en A. Capoulade antes de su primera conferencia fundacional oficial en julio de 1935. [47] [48] Durante este período inicial, Paul Dubreil , Jean Leray y Szolem Mandelbrojt se unieron y participaron. Dubreil y Leray abandonaron las reuniones antes del verano siguiente y fueron reemplazados respectivamente por nuevos participantes Jean Coulomb y Charles Ehresmann . [46] [49]
La conferencia oficial de fundación del grupo se celebró en Besse-en-Chandesse , del 10 al 17 de julio de 1935. [50] [51] En el momento de la fundación oficial, los miembros consistían en los seis asistentes al primer almuerzo del 10 de diciembre de 1934, junto con Coulomb, Ehresmann y Mandelbrojt. El 16 de julio, los miembros salieron a caminar para aliviar el aburrimiento de los procedimientos improductivos. Durante el malestar, algunos decidieron bañarse desnudos en el cercano lago Pavin , gritando repetidamente "¡Bourbaki!". [52] Al final de la primera conferencia oficial, el grupo se rebautizó como "Bourbaki", en referencia al general y la broma que recordaron Weil y otros. [45] [e] Durante 1935, el grupo también decidió establecer la personalidad matemática de su seudónimo colectivo publicando un artículo con su nombre. [50] [54] Se debía decidir un nombre de pila; se requería un nombre completo para publicar cualquier artículo. Con este fin, la esposa de René de Possel, Eveline, "bautizó" el seudónimo con el nombre de pila de Nicolas, convirtiéndose en la "madrina" de Bourbaki. [50] [55] [56] [57] Esto permitió la publicación de un segundo artículo con material atribuido a Bourbaki, esta vez bajo "su" propio nombre. [58] El padre de Henri Cartan , Élie Cartan , también matemático y partidario del grupo, presentó el artículo a los editores, quienes lo aceptaron. [54]
En el momento de la fundación de Bourbaki, René de Possel y su esposa Eveline estaban en proceso de divorcio. Eveline se volvió a casar con André Weil en 1937, y de Possel abandonó el colectivo Bourbaki algún tiempo después. Esta secuencia de eventos ha provocado especulaciones sobre si de Possel abandonó el grupo debido al nuevo matrimonio, [59] sin embargo, esta sugerencia también ha sido criticada como posiblemente históricamente inexacta, ya que se supone que de Possel permaneció activo en Bourbaki durante años después del matrimonio de André con Eveline. [60]
El trabajo de Bourbaki se desaceleró significativamente durante la Segunda Guerra Mundial , aunque el grupo sobrevivió y luego floreció. Algunos miembros de Bourbaki eran judíos y, por lo tanto, se vieron obligados a huir de ciertas partes de Europa en ciertos momentos. Weil, que era judío, pasó el verano de 1939 en Finlandia con su esposa Eveline, como invitados de Lars Ahlfors . Debido a su viaje cerca de la frontera, la pareja fue sospechosa de ser espías soviéticos por las autoridades finlandesas cerca del inicio de la Guerra de Invierno , y André fue arrestado más tarde. [61] Según una anécdota, Weil debería haber sido ejecutado si no fuera por la mención de pasada de su caso a Rolf Nevanlinna , quien pidió que se conmutara la sentencia de Weil. [62] Sin embargo, la precisión de este detalle es dudosa. [63] Weil llegó a los Estados Unidos en 1941, y luego realizó otra estancia docente en São Paulo de 1945 a 1947 antes de establecerse en la Universidad de Chicago de 1947 a 1958 y finalmente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , donde pasó el resto de su carrera. Aunque Weil se mantuvo en contacto con el colectivo Bourbaki y visitó Europa y el grupo periódicamente después de la guerra, su nivel de participación con Bourbaki nunca volvió al de la época de la fundación.
Laurent Schwartz, miembro de la segunda generación de Bourbaki , también era judío y encontró trabajo como profesor de matemáticas en la Francia rural de Vichy . Moviéndose de un pueblo a otro, Schwartz planificó sus movimientos para evadir la captura de los nazis . [64] En una ocasión, Schwartz se encontró atrapado durante la noche en un pueblo determinado, ya que su transporte esperado a casa no estaba disponible. Había dos posadas en el pueblo: una cómoda y bien equipada, y una muy pobre sin calefacción y con malas camas. El instinto de Schwartz le dijo que se quedara en la posada pobre; durante la noche, los nazis asaltaron la buena posada, dejando la posada pobre sin control. [65]
Mientras tanto, Jean Delsarte, un católico, fue movilizado en 1939 como capitán de una batería de reconocimiento de audio. Se vio obligado a liderar la retirada de la unidad desde la parte noreste de Francia hacia el sur. Mientras pasaba cerca de la frontera suiza, Delsarte escuchó a un soldado decir "Somos el ejército de Bourbaki"; [66] [67] la retirada del general del siglo XIX era conocida por los franceses. Delsarte había liderado casualmente una retirada similar a la del homónimo del colectivo.
Después de la guerra, Bourbaki había consolidado el plan de su trabajo y se había establecido en una rutina productiva. Bourbaki publicó regularmente volúmenes de los Éléments durante los años 1950 y 1960, y disfrutó de su mayor influencia durante este período. [68] [69] Con el tiempo, los miembros fundadores abandonaron gradualmente el grupo, siendo reemplazados lentamente por recién llegados más jóvenes, incluidos Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck . Serre, Grothendieck y Laurent Schwartz fueron galardonados con la Medalla Fields durante el período de posguerra, en 1954, 1966 y 1950 respectivamente. Los miembros posteriores Alain Connes y Jean-Christophe Yoccoz también recibieron la Medalla Fields, en 1982 y 1994 respectivamente. [70]
La práctica posterior de aceptar premios científicos contrastaba con algunas de las opiniones de los fundadores. [71] Durante la década de 1930, Weil y Delsarte presentaron una petición contra un "sistema de medallas" científicas nacionales francesas propuesto por el premio Nobel de Física Jean Perrin . Weil y Delsarte sintieron que la institución de un sistema de este tipo aumentaría la mezquindad y los celos poco constructivos en la comunidad científica. [72] A pesar de esto, el grupo Bourbaki había solicitado previamente con éxito a Perrin una subvención del gobierno para apoyar sus operaciones normales. [73] Al igual que los fundadores, Grothendieck también era reacio a los premios, aunque por razones pacifistas . Aunque Grothendieck recibió la Medalla Fields en 1966, se negó a asistir a la ceremonia en Moscú, en protesta contra el gobierno soviético. [74] En 1988, Grothendieck rechazó el Premio Crafoord de plano, citando que no tenía ninguna necesidad personal de aceptar el dinero del premio, la falta de producción relevante reciente y la desconfianza general de la comunidad científica. [75]
Nacido en una familia de judíos anarquistas , Grothendieck sobrevivió al Holocausto y avanzó rápidamente en la comunidad matemática francesa, a pesar de la mala educación que recibió durante la guerra. [76] Entre los profesores de Grothendieck se encontraban los fundadores de Bourbaki, por lo que se unió al grupo. Durante la membresía de Grothendieck, Bourbaki llegó a un punto muerto en relación con su enfoque fundacional. Grothendieck abogó por una reformulación del trabajo del grupo utilizando la teoría de categorías como base teórica, en oposición a la teoría de conjuntos. La propuesta fue finalmente rechazada [77] [78] [79] en parte porque el grupo ya se había comprometido con una vía rígida de presentación secuencial, con múltiples volúmenes ya publicados. Después de esto, Grothendieck dejó a Bourbaki "enfadado". [37] [64] [80] Los biógrafos del colectivo han descrito la falta de voluntad de Bourbaki de empezar de nuevo en términos de teoría de categorías como una oportunidad perdida. [64] [81] [82] Sin embargo, Bourbaki anunció en 2023 que actualmente se está preparando un libro sobre teoría de categorías (véase más abajo el último párrafo de esta sección).
Durante el período fundacional, el grupo eligió a la editorial parisina Hermann para publicar entregas de los Éléments . Hermann estaba liderada por Enrique Freymann, un amigo de los fundadores dispuesto a publicar el proyecto del grupo, a pesar del riesgo financiero. Durante la década de 1970, Bourbaki entró en una prolongada batalla legal con Hermann por cuestiones de derechos de autor y pago de regalías . Aunque el grupo Bourbaki ganó la demanda y conservó los derechos de autor colectivos de los Éléments , la disputa ralentizó la productividad del grupo. [83] [84] El ex miembro Pierre Cartier describió la demanda como una victoria pírrica , diciendo: "Como es habitual en las batallas legales, ambas partes perdieron y el abogado se enriqueció". [64] Las ediciones posteriores de los Éléments fueron publicadas por Masson , y las ediciones modernas son publicadas por Springer . [85] Entre los años 1980 y 2000, Bourbaki publicó muy poco, por lo que en 1998 Le Monde declaró al colectivo "muerto". [86]
Sin embargo, en 2012 Bourbaki reanudó la publicación de los Éléments con un capítulo 8 revisado de álgebra, los primeros 4 capítulos de un nuevo libro sobre topología algebraica y dos volúmenes sobre teoría espectral (el primero de los cuales es una versión ampliada y revisada de la edición de 1967 mientras que el último consta de tres nuevos capítulos). Además, el texto de los dos últimos volúmenes anuncia que actualmente se están preparando libros sobre teoría de categorías y formas modulares (además de la última parte del libro sobre topología algebraica). [87] [88]
Bourbaki celebra conferencias periódicas con el fin de ampliar los Elementos ; estas conferencias son la actividad central de la vida laboral del grupo. Se asignan subcomités para escribir borradores sobre material específico, y los borradores se presentan más tarde, se debaten vigorosamente y se vuelven a redactar en las conferencias. Se requiere un acuerdo unánime antes de que cualquier material se considere aceptable para su publicación. [90] [91] [92] Un material determinado puede requerir seis o más borradores a lo largo de un período de varios años, y algunos borradores nunca se desarrollan hasta convertirse en un trabajo completo. [91] [93] Por lo tanto, el proceso de escritura de Bourbaki ha sido descrito como " Sísifo ". [92] Aunque el método es lento, produce un producto final que satisface los estándares del grupo en cuanto a rigor matemático , una de las principales prioridades de Bourbaki en el tratado. El énfasis de Bourbaki en el rigor fue una reacción al estilo de Henri Poincaré , quien destacó la importancia de la intuición matemática fluida a costa de una presentación minuciosa. [f] Durante los primeros años del proyecto, Dieudonné sirvió como escriba del grupo, redactando varios borradores finales que finalmente se publicaron. Para este propósito, Dieudonné adoptó un estilo de escritura impersonal que no era el suyo, pero que se utilizó para elaborar material aceptable para todo el grupo. [94] [95] Dieudonné reservó su estilo personal para su propio trabajo; como todos los miembros de Bourbaki, Dieudonné también publicó material bajo su propio nombre, [96] incluyendo los nueve volúmenes de Éléments d'analyse , una obra centrada explícitamente en el análisis y que coincidía con las intenciones iniciales de Bourbaki.
La mayoría de los borradores finales de los Elementos de Bourbaki evitaron cuidadosamente el uso de ilustraciones, favoreciendo una presentación formal basada solo en texto y fórmulas. Una excepción a esto fue el tratamiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (especialmente en los capítulos 4-6), que sí hicieron uso de diagramas e ilustraciones. La inclusión de ilustraciones en esta parte de la obra se debió a Armand Borel . Borel era minoritario suizo en un colectivo mayoritariamente francés y se autodespreciaba como "el campesino suizo", explicando que el aprendizaje visual era importante para el carácter nacional suizo. [64] [97] Cuando se le preguntó sobre la escasez de ilustraciones en la obra, el ex miembro Pierre Cartier respondió:
Los Bourbaki eran puritanos , y los puritanos se oponen firmemente a las representaciones pictóricas de las verdades de su fe. El número de protestantes y judíos en el grupo Bourbaki era abrumador. Y ya sabéis que los protestantes franceses, en particular, son muy cercanos a los judíos en espíritu.
— Pierre Cartier [64]
Históricamente, las conferencias se han celebrado en zonas rurales tranquilas. [98] Estos lugares contrastan con los debates animados y a veces acalorados que se han producido. Laurent Schwartz informó de un episodio en el que Weil golpeó a Cartan en la cabeza con una corriente de aire. El propietario del hotel vio el incidente y supuso que el grupo se separaría, pero según Schwartz, "la paz se restableció en diez minutos". [99] El estilo histórico y confrontativo del debate dentro de Bourbaki se ha atribuido en parte a Weil, que creía que las nuevas ideas tienen más posibilidades de nacer en la confrontación que en una discusión ordenada. [91] [99] Schwartz relató otro incidente ilustrativo: Dieudonné se mantuvo firme en que los espacios vectoriales topológicos deben aparecer en la obra antes de la integración , y siempre que alguien sugería que se invirtiera el orden, amenazaba en voz alta con su dimisión. Esto se convirtió en una broma interna entre el grupo; la esposa de Roger Godement, Sonia, asistió a una conferencia, consciente de la idea, y pidió pruebas. Cuando Sonia llegó a una reunión, un miembro sugirió que la integración debía aparecer antes que los espacios vectoriales topológicos, lo que desencadenó la reacción habitual de Dieudonné. [99]
A pesar de la cultura histórica de la discusión acalorada, Bourbaki prosperó a mediados del siglo XX. La capacidad de Bourbaki para mantener un enfoque crítico tan colectivo ha sido descrita como "algo inusual", [100] sorprendiendo incluso a sus propios miembros. En palabras del fundador Henri Cartan, "Que se pueda obtener un producto final es una especie de milagro que ninguno de nosotros puede explicar". [101] [102] Se ha sugerido que el grupo sobrevivió porque sus miembros creían firmemente en la importancia de su proyecto colectivo, a pesar de las diferencias personales. [91] [103] Cuando el grupo superó dificultades o desarrolló una idea que les gustó, a veces decían l'esprit a soufflé ("el espíritu respira"). [91] [104] La historiadora Liliane Beaulieu señaló que el "espíritu" -que podría ser un avatar , la mentalidad del grupo en acción, o Bourbaki "él mismo"- era parte de una cultura y mitología internas que el grupo utilizó para formar su identidad y realizar su trabajo. [105]
El humor ha sido un aspecto importante de la cultura del grupo, comenzando con los recuerdos de Weil sobre las bromas estudiantiles que involucraban a "Bourbaki" y "Poldevia". Por ejemplo, en 1939 el grupo publicó un anuncio de boda para el matrimonio de "Betti Bourbaki" (hija de Nicolas) con un tal " H. Pétard " (H. "Firecrackers" o "Hector Pétard"), un "cazador de leones". [106] Hector Pétard era en sí mismo un seudónimo, pero no uno acuñado originalmente por los miembros de Bourbaki. El apodo de Pétard fue creado por Ralph P. Boas , Frank Smithies y otros matemáticos de Princeton que conocían el proyecto Bourbaki; inspirados por ellos, los matemáticos de Princeton publicaron un artículo sobre las "matemáticas de la caza de leones". Después de conocer a Boas y Smithies, Weil compuso el anuncio de boda, que contenía varios juegos de palabras matemáticos. [107] El boletín interno de Bourbaki, La Tribu, a veces se publicaba con subtítulos humorísticos para describir una conferencia determinada, como "El Congreso Extraordinario de Viejos Cacharros" (donde cualquiera mayor de 30 años era considerado un cacharro) o "El Congreso de la Motorización del Asno Trotador" (una expresión utilizada para describir el desarrollo rutinario de una prueba o proceso matemático). [108] [109]
Durante los años 1940-1950, [110] [111] la Sociedad Matemática Americana recibió solicitudes de membresía individual de Bourbaki. Fueron rechazadas por JR Kline , quien entendió que la entidad era un colectivo, invitándolos a volver a solicitar la membresía institucional. En respuesta, Bourbaki hizo circular el rumor de que Ralph Boas no era una persona real, sino un seudónimo colectivo de los editores de Mathematical Reviews con el que Boas había estado afiliado. La razón para apuntar a Boas fue porque había conocido al grupo en sus primeros días cuando eran menos estrictos con el secreto, y los había descrito como un colectivo en un artículo para la Encyclopædia Britannica . [112] En noviembre de 1968, se publicó un obituario simulado de Nicolas Bourbaki durante uno de los seminarios. [113] [114]
El grupo desarrolló algunas variantes de la palabra "Bourbaki" para uso interno. El sustantivo "Bourbaki" puede referirse al grupo propiamente dicho o a un miembro individual, por ejemplo, "André Weil era un Bourbaki". "Bourbakista" se utiliza a veces para referirse a los miembros [37], pero también denota asociados, partidarios y entusiastas. [115] [116] "Bourbakizar" significaba tomar un texto existente deficiente y mejorarlo mediante un proceso de edición. [93]
La cultura del humor de Bourbaki ha sido descrita como un factor importante en la cohesión social del grupo y su capacidad para sobrevivir, suavizando las tensiones de los debates acalorados. [117] A partir de 2024, una cuenta de Twitter registrada a nombre de "Betty_Bourbaki" proporciona actualizaciones periódicas sobre la actividad del grupo. [118]
El trabajo de Bourbaki incluye una serie de libros de texto, una serie de notas de conferencias impresas, artículos de revistas y un boletín interno. La serie de libros de texto Éléments de mathématique (Elementos de matemáticas) es el trabajo central del grupo. El Séminaire Bourbaki es una serie de conferencias que se lleva a cabo regularmente bajo los auspicios del grupo, y las charlas que se dan también se publican como notas de conferencias. Se han publicado artículos de revistas con la autoría atribuida a Bourbaki, y el grupo publica un boletín interno La Tribu ( La Tribu ) que se distribuye a los miembros actuales y antiguos. [119] [120]
Al igual que sus antecesores, Bourbaki insistió en plantear las matemáticas en un “lenguaje formalizado” con deducciones claras como el cristal basadas en reglas formales estrictas. Cuando Bertrand Russell y Alfred North Whitehead aplicaron este enfoque a principios del siglo XX, llenaron más de 700 páginas con símbolos formales antes de establecer la proposición que normalmente se abrevia como 1+1=2 . El formalismo de Bourbaki eclipsaría incluso esto, ya que se necesitan unos 4,5 billones de símbolos solo para definir el número 1. [121]
Miguel Barany [122]
El contenido de los Elementos se divide en libros (temas principales de discusión), volúmenes (libros individuales, físicos) y capítulos , junto con ciertos resúmenes de resultados, notas históricas y otros detalles. Los volúmenes de los Elementos han tenido una historia de publicación compleja. El material se ha revisado para nuevas ediciones, se ha publicado cronológicamente fuera del orden de su secuencia lógica prevista, se ha agrupado y dividido de manera diferente en volúmenes posteriores y se ha traducido al inglés. Por ejemplo, el segundo libro sobre Álgebra se publicó originalmente en ocho volúmenes en francés: el primero en 1942, que era solo el capítulo 1, y el último en 1980, que era solo el capítulo 10. Esta presentación se condensó más tarde en cinco volúmenes con los capítulos 1 a 3 en el primer volumen, los capítulos 4 a 7 en el segundo y los capítulos 8 a 10, cada uno de los cuales permaneció en los volúmenes tercero a quinto de esa parte de la obra. [119] La edición en inglés del Álgebra de Bourbaki consta de traducciones de los tres volúmenes que constan de los capítulos 1 a 3, 4 a 7 y 8, mientras que los capítulos 9 y 10 no están disponibles en inglés en 2024.
Cuando los fundadores de Bourbaki comenzaron a trabajar en los Elementos , originalmente lo concibieron como un "tratado sobre el análisis", y el trabajo propuesto tenía un título provisional del mismo nombre ( Traité d'analyse ). La parte inicial debía tratar de manera exhaustiva los fundamentos de las matemáticas antes del análisis, y se la conocía como el "Paquete Abstracto". Con el tiempo, los miembros desarrollaron esta "sección inicial" propuesta del trabajo hasta el punto de que, en su lugar, ocuparía varios volúmenes y comprendería una parte importante del trabajo, cubriendo la teoría de conjuntos, el álgebra abstracta y la topología. Una vez que el alcance del proyecto se expandió mucho más allá de su propósito original, el título provisional Traité d'analyse se abandonó en favor de Elementos de matemática . [45] El inusual y singular "Matemático" tenía la intención de connotar la creencia de Bourbaki en la unidad de las matemáticas. [123] [124] [125] Los primeros seis libros de los Elementos , que representan la primera mitad de la obra, están numerados secuencialmente y ordenados lógicamente, estableciéndose un enunciado dado solo sobre la base de resultados anteriores. [126] Esta primera mitad de la obra llevaba el subtítulo Les structures fondamentales de l'analyse ( Estructuras fundamentales del análisis ), [119] [127] [128] cubriendo las matemáticas establecidas (álgebra, análisis) en el estilo del grupo. La segunda mitad de la obra consta de libros no numerados que tratan áreas modernas de investigación (grupos de Lie, álgebra conmutativa), cada uno presuponiendo la primera mitad como una base compartida pero sin dependencia entre sí. Esta segunda mitad de la obra, que consta de temas de investigación más nuevos, no tiene un subtítulo correspondiente.
Los volúmenes de los Elementos publicados por Hermann se indexaban por cronología de publicación y se denominaban fascículos : entregas de una obra extensa. Algunos volúmenes no contenían las definiciones, pruebas y ejercicios habituales de un libro de texto de matemáticas, sino que solo contenían resúmenes de resultados para un tema determinado, expresados sin pruebas. Estos volúmenes se denominaban Fascicules de résultats , con el resultado de que fascículo puede referirse a un volumen de la edición de Hermann o a una de las secciones "sumarias" de la obra (por ejemplo, Fascicules de résultats se traduce como "Resumen de resultados" en lugar de "Entrega de resultados", refiriéndose al contenido en lugar de a un volumen específico). [g] El primer volumen de los Elementos de Bourbaki que se publicó fue el Resumen de resultados en la teoría de conjuntos , en 1939. [64] [119] [131] De manera similar, uno de los libros posteriores de la obra, Variedades diferenciales y analíticas , constaba solo de dos volúmenes de resúmenes de resultados, sin que se hubiera publicado ningún capítulo de contenido.
Las entregas posteriores de los Elementos aparecieron con poca frecuencia durante los años 1980 y 1990. Un volumen de Álgebra conmutativa (capítulos 8-9) se publicó en 1983, y no se publicaron otros volúmenes hasta la aparición del décimo capítulo del mismo libro en 1998. Durante la década de 2010, Bourbaki aumentó su productividad. Una versión reescrita y ampliada del octavo capítulo de Álgebra apareció en 2012, los primeros cuatro capítulos de un nuevo libro que trata la Topología algebraica se publicaron en 2016, y los primeros dos capítulos de una edición revisada y ampliada de Teoría espectral se publicaron en 2019, mientras que los tres capítulos restantes (completamente nuevos) aparecieron en 2023.
El Séminaire Bourbaki se celebra regularmente desde 1948 y las conferencias son impartidas por miembros y no miembros del colectivo. En 2024, el Séminaire Bourbaki ha registrado más de mil conferencias en su forma escrita, indicadas cronológicamente por números simples. [140] En el momento de una conferencia impartida en junio de 1999 por Jean-Pierre Serre sobre el tema de los grupos de Lie, el total de conferencias impartidas en la serie ascendía a 864, lo que corresponde a aproximadamente 10.000 páginas de material impreso. [141]
En la literatura matemática han aparecido varios artículos de revistas con material o autoría atribuida a Bourbaki; a diferencia de los Elementos , normalmente fueron escritos por miembros individuales [119] y no elaborados a través del proceso habitual de consenso grupal. A pesar de esto, el ensayo de Jean Dieudonné "La arquitectura de las matemáticas" se ha conocido como el manifiesto de Bourbaki . [142] [143] Dieudonné abordó el problema de la sobreespecialización en matemáticas, a la que se opuso a la unidad inherente de las matemáticas (en oposición a las matemáticas) y propuso estructuras matemáticas como herramientas útiles que se pueden aplicar a varias materias, mostrando sus características comunes. [144] Para ilustrar la idea, Dieudonné describió tres sistemas diferentes en aritmética y geometría y mostró que todos podían describirse como ejemplos de un grupo , un tipo específico de estructura ( algebraica ). [145] Dieudonné describió el método axiomático como "el ' sistema de Taylor ' para las matemáticas" en el sentido de que podía usarse para resolver problemas de manera eficiente. [146] [i] Un procedimiento de este tipo implicaría identificar las estructuras pertinentes y aplicar el conocimiento establecido sobre la estructura dada al problema específico en cuestión. [146]
La Tribu es el boletín interno de Bourbaki, que se distribuye a los miembros actuales y antiguos. El boletín suele documentar conferencias y actividades recientes de una manera humorística e informal, a veces incluyendo poesía. [147] El miembro Pierre Samuel escribió las secciones narrativas del boletín durante varios años. [148] Bourbaki ha puesto a disposición del público ediciones anteriores de La Tribu y documentos relacionados. [33]
La historiadora Liliane Beaulieu examinó La Tribu y otros escritos de Bourbaki, describiendo el humor y el lenguaje privado del grupo como un "arte de la memoria" que es específico del grupo y de sus métodos de funcionamiento elegidos. [149] Debido al secreto y la organización informal del grupo, los recuerdos individuales a veces se registran de forma fragmentaria y pueden no tener importancia para otros miembros. [150] Por otro lado, el origen predominantemente francés de los miembros, junto con las historias del período inicial y los éxitos del grupo, crean una cultura y una mitología compartidas que se utilizan para la identidad del grupo. La Tribu suele enumerar a los miembros presentes en una conferencia, junto con los visitantes, familiares u otros amigos que asisten. Las descripciones humorísticas de la ubicación o de los "objetos" locales (automóviles, bicicletas, binoculares, etc.) también pueden servir como dispositivos mnemotécnicos . [108]
En el año 2000, Bourbaki contaba con "unos cuarenta" miembros. [151] Históricamente, el grupo contaba con entre diez [152] y doce [64] miembros en un momento dado, aunque durante un breve período (y oficialmente) se limitó a nueve miembros en el momento de su fundación. [47] La membresía de Bourbaki se ha descrito en términos de generaciones:
Bourbaki siempre fue un grupo muy pequeño de matemáticos, que normalmente constaba de unas doce personas. Su primera generación fue la de los padres fundadores, los que crearon el grupo en 1934: Weil, Cartan, Chevalley, Delsarte, de Possel y Dieudonné. Otros se unieron al grupo y otros abandonaron sus filas, de modo que algunos años después había unos doce miembros, y ese número se mantuvo más o menos constante. Laurent Schwartz fue el único matemático que se unió a Bourbaki durante la guerra, por lo que se considera que es una generación intermedia. Después de la guerra, se unieron varios miembros: Jean-Pierre Serre , Pierre Samuel , Jean-Louis Koszul , Jacques Dixmier , Roger Godement y Sammy Eilenberg . Estas personas constituyeron la segunda generación de Bourbaki. En la década de 1950, la tercera generación de matemáticos se unió a Bourbaki. Entre estas personas se encontraban Alexandre Grothendieck , François Bruhat , Serge Lang , el matemático estadounidense John Tate , Pierre Cartier y el matemático suizo Armand Borel . [64] [153]
Después de las tres primeras generaciones, hubo aproximadamente veinte miembros posteriores, sin incluir a los participantes actuales. Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto a sus miembros actuales, una práctica destinada a garantizar que su producción se presente como un esfuerzo colectivo y unificado bajo el seudónimo de Bourbaki, no atribuible a ningún autor en particular (por ejemplo, a los efectos de derechos de autor o pago de regalías). Este secreto también tiene como objetivo disuadir la atención no deseada que podría perturbar las operaciones normales. Sin embargo, los ex miembros discuten libremente las prácticas internas de Bourbaki al irse. [64] [154]
Los miembros potenciales son invitados a conferencias y se les considera conejillos de indias , un proceso destinado a verificar la capacidad matemática del recién llegado. [64] [155] En caso de acuerdo entre el grupo y el candidato, el candidato eventualmente se convierte en miembro de pleno derecho. [j] Se supone que el grupo tiene un límite de edad: se espera que los miembros activos se retiren a los 50 años (o alrededor de esa edad). [64] [92] En una conferencia de 1956, Cartan leyó una carta de Weil que proponía una "desaparición gradual" de los miembros fundadores, obligando a los miembros más jóvenes a asumir la plena responsabilidad de las operaciones de Bourbaki. [37] [160] Se supone que esta regla resultó en un cambio completo de personal en 1958. [55] Sin embargo, la historiadora Liliane Beaulieu ha sido crítica con la afirmación. Informó que nunca encontró una afirmación escrita de la regla, [161] y ha indicado que ha habido excepciones. [162] Se cree que el límite de edad expresa la intención de los fundadores de que el proyecto continúe indefinidamente, operado por personas en su mejor capacidad matemática; en la comunidad matemática, existe la creencia generalizada de que los matemáticos producen su mejor trabajo mientras son jóvenes. [160] [163] Entre los miembros de pleno derecho no hay una jerarquía oficial; todos operan como iguales, teniendo la capacidad de interrumpir los procedimientos de la conferencia en cualquier momento, o de cuestionar cualquier material presentado. Sin embargo, André Weil ha sido descrito como "el primero entre iguales" durante el período de fundación, y se le dio cierta deferencia. [164] Por otro lado, el grupo también se ha burlado de la idea de que se debería brindar un mayor respeto a los miembros mayores. [165]
A las conferencias de Bourbaki también han asistido familiares de los miembros, amigos, matemáticos visitantes y otras personas que no eran miembros del grupo. [k] No se sabe que Bourbaki haya tenido alguna vez miembros femeninos. [92] [152]
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Bourbaki ejerció una gran influencia en las matemáticas del siglo XX y tuvo cierto impacto interdisciplinario en las humanidades y las artes, aunque el alcance de esta última influencia es motivo de controversia. El grupo ha sido elogiado y criticado por su método de presentación, su estilo de trabajo y su elección de temas matemáticos.
Bourbaki introdujo varias notaciones matemáticas que se han mantenido en uso. Weil tomó la letra Ø del alfabeto noruego y la utilizó para denotar el conjunto vacío , . [175] Esta notación apareció por primera vez en el Resumen de resultados sobre la teoría de conjuntos , [176] y sigue en uso. Las palabras inyectiva , sobreyectiva y biyectiva se introdujeron para referirse a funciones que satisfacen ciertas propiedades. [177] [178] Bourbaki utilizó un lenguaje simple para ciertos objetos geométricos, nombrándolos pavés ( adoquines ) y boules ( bolas ) en oposición a " paralelotopos " o " hiperesferoides ". [179] De manera similar, en su tratamiento de los espacios vectoriales topológicos, Bourbaki definió un barril como un conjunto que es convexo , equilibrado , absorbente y cerrado . [180] El grupo estaba orgulloso de esta definición, creyendo que la forma de un barril de vino tipificaba las propiedades del objeto matemático. [181] [182] Bourbaki también empleó el símbolo de " curva peligrosa " ☡ en los márgenes de su texto para indicar un fragmento de material especialmente difícil. Bourbaki gozó de su mayor influencia durante los años 1950 y 1960, cuando se publicaron con frecuencia entregas de los Éléments .
Bourbaki tuvo cierta influencia interdisciplinaria en otros campos, incluyendo la antropología y la psicología . Esta influencia fue en el contexto del estructuralismo , una escuela de pensamiento en las humanidades que enfatiza las relaciones entre los objetos por sobre los objetos mismos, seguida en varios campos por otros intelectuales franceses. En 1943, André Weil conoció al antropólogo Claude Lévi-Strauss en Nueva York, donde ambos emprendieron una breve colaboración. A pedido de Lévi-Strauss, Weil escribió un breve apéndice que describe las reglas matrimoniales para cuatro clases de personas dentro de la sociedad aborigen australiana , utilizando un modelo matemático basado en la teoría de grupos . [5] [183] El resultado fue publicado como un apéndice en Estructuras elementales del parentesco de Lévi-Strauss , un trabajo que examina las estructuras familiares y el tabú del incesto en las culturas humanas. [184] En 1952, Jean Dieudonné y Jean Piaget participaron en una conferencia interdisciplinaria sobre estructuras matemáticas y mentales. Dieudonné describió las "estructuras madre" matemáticas en términos del proyecto de Bourbaki: composición, vecindad y orden. [185] Luego, Piaget dio una charla sobre los procesos mentales de los niños y consideró que los conceptos psicológicos que acababa de describir eran muy similares a los matemáticos que acababa de describir Dieudonné. [186] [187] Según Piaget, los dos estaban "impresionados el uno con el otro". [188] Al psicoanalista Jacques Lacan le gustó el estilo de trabajo colaborativo de Bourbaki y propuso un grupo colectivo similar en psicología, una idea que no se materializó. [189]
Bourbaki también fue citado por filósofos postestructuralistas . En su obra conjunta Anti-Edipo , Gilles Deleuze y Félix Guattari presentaron una crítica al capitalismo . Los autores citaron el uso que hace Bourbaki del método axiomático (con el propósito de establecer la verdad) como un contraejemplo distinto a los procesos de gestión que en cambio buscan la eficiencia económica . Los autores dijeron de las axiomáticas de Bourbaki que "no forman un sistema de Taylor", invirtiendo la frase utilizada por Dieudonné en "La arquitectura de las matemáticas". [146] [190] En La condición posmoderna , Jean-François Lyotard criticó la "legitimación del conocimiento", el proceso por el cual las afirmaciones se aceptan como válidas. Como ejemplo, Lyotard citó a Bourbaki como un grupo que produce conocimiento dentro de un sistema dado de reglas. [191] [192] Lyotard contrastó las matemáticas jerárquicas y "estructuralistas" de Bourbaki con la teoría de catástrofes de René Thom y los fractales de Benoit Mandelbrot , [s] expresando preferencia por esta última "ciencia posmoderna" que problematizaba las matemáticas con "fractas, catástrofes y paradojas pragmáticas". [191] [192]
Aunque el biógrafo Amir Aczel destacó la influencia de Bourbaki en otras disciplinas a mediados del siglo XX, Maurice Mashaal moderó las afirmaciones sobre la influencia de Bourbaki en los siguientes términos:
Aunque las estructuras de Bourbaki se mencionaban a menudo en las conferencias y publicaciones de ciencias sociales de la época, parece que no desempeñaron un papel real en el desarrollo de estas disciplinas. David Aubin, un historiador de la ciencia que analizó el papel de Bourbaki en el movimiento estructuralista en Francia, cree que el papel de Bourbaki fue el de un "conector cultural". [194] Según Aubin, si bien Bourbaki no tenía ninguna misión fuera de las matemáticas, el grupo representó una especie de vínculo entre los diversos movimientos culturales de la época. Bourbaki proporcionó una definición simple y relativamente precisa de conceptos y estructuras, que los filósofos y los científicos sociales consideraron fundamental dentro de sus disciplinas y en los puentes entre diferentes áreas de conocimiento. A pesar de la naturaleza superficial de estos vínculos, las diversas escuelas de pensamiento estructuralista, incluido Bourbaki, pudieron apoyarse entre sí. Por lo tanto, no es una coincidencia que estas escuelas sufrieran un declive simultáneo a fines de la década de 1960.
— Maurice Mashaal, citando a David Aubin [187] [t] [u]
También se criticó el impacto del "estructuralismo" en las matemáticas en sí. El historiador matemático Leo Corry sostuvo que el uso de estructuras matemáticas por parte de Bourbaki no era importante dentro de los Elementos , ya que se habían establecido en la Teoría de conjuntos y se habían citado con poca frecuencia después. [199] [200] [201] [202] Corry describió la visión "estructural" de las matemáticas promovida por Bourbaki como una "imagen del conocimiento" -una concepción sobre una disciplina científica- en oposición a un elemento del "cuerpo de conocimiento" de la disciplina, que se refiere a los resultados científicos reales en la disciplina misma. [200]
Bourbaki también tuvo cierta influencia en las artes. El colectivo literario Oulipo fue fundado el 24 de noviembre de 1960 en circunstancias similares a la fundación de Bourbaki, y sus miembros se reunieron inicialmente en un restaurante. Aunque varios de los miembros de Oulipo eran matemáticos, el propósito del grupo era crear literatura experimental jugando con el lenguaje. Oulipo empleaba con frecuencia técnicas de escritura restringida basadas en las matemáticas , como el método S+7 . Raymond Queneau , miembro de Oulipo, asistió a una conferencia de Bourbaki en 1962. [187] [203]
En 2016, un grupo anónimo de economistas escribió en colaboración una nota denunciando mala conducta académica por parte de los autores y el editor de un artículo publicado en la American Economic Review . [204] [205] La nota se publicó bajo el nombre de Nicolas Bearbaki en homenaje a Nicolas Bourbaki. [206]
En 2018, el dúo musical estadounidense Twenty One Pilots lanzó un álbum conceptual llamado Trench . El marco conceptual del álbum fue la mítica ciudad de "Dema" gobernada por nueve "obispos"; uno de los obispos se llamaba "Nico", abreviatura de Nicolas Bourbaki. Otro de los obispos se llamaba Andre, que puede referirse a André Weil. Después del lanzamiento del álbum, hubo un aumento en las búsquedas en Internet de "Nicolas Bourbaki". [37] [v]
El trabajo de Bourbaki ha sido elogiado por algunos matemáticos. En una reseña de un libro, Emil Artin describió los Elementos en términos amplios y positivos:
Estamos asistiendo a la creación de una obra monumental: la exposición de toda la matemática actual. Además, esta exposición se hace de tal manera que el vínculo común entre las diversas ramas de la matemática se hace claramente visible, que el marco que sostiene toda la estructura no es propenso a volverse obsoleto en muy poco tiempo y que puede absorber fácilmente nuevas ideas.
— Emil Artin [133]
Entre los volúmenes de los Elementos , el trabajo de Bourbaki sobre los grupos de Lie y las álgebras de Lie ha sido identificado como "excelente", [195] habiéndose convertido en una referencia estándar sobre el tema. En particular, el ex miembro Armand Borel describió el volumen con los capítulos 4 a 6 como "uno de los libros más exitosos de Bourbaki". [208] El éxito de esta parte del trabajo se ha atribuido al hecho de que los libros fueron compuestos mientras los principales expertos en el tema eran miembros de Bourbaki. [64] [209]
Jean-Pierre Bourguignon expresó su aprecio por el Séminaire Bourbaki, diciendo que había aprendido una gran cantidad de material en sus conferencias y que consultaba sus notas impresas con regularidad. [210] También elogió a los Éléments por contener "algunas pruebas magníficas y muy inteligentes". [211]
Bourbaki también ha sido criticado por varios matemáticos, incluidos sus propios exmiembros, por diversas razones. Las críticas han incluido la elección de la presentación de ciertos temas dentro de los Elementos a expensas de otros, el desagrado por el método de presentación de ciertos temas, el desagrado por el estilo de trabajo del grupo y una mentalidad elitista percibida en torno al proyecto de Bourbaki y sus libros, especialmente durante los años más productivos del colectivo en los años 1950 y 1960.
Las deliberaciones de Bourbaki sobre los Elementos dieron como resultado la inclusión de algunos temas, mientras que otros no fueron tratados. Cuando se le preguntó en una entrevista de 1997 sobre los temas que se habían dejado fuera de los Elementos , el ex miembro Pierre Cartier respondió:
En esencia, no hay ningún análisis más allá de los fundamentos: nada sobre ecuaciones diferenciales parciales , nada sobre probabilidad . Tampoco hay nada sobre combinatoria , nada sobre topología algebraica , [x] nada sobre geometría concreta . Y Bourbaki nunca consideró seriamente la lógica . El propio Dieudonné se manifestó muy abiertamente en contra de la lógica. Todo lo relacionado con la física matemática está totalmente ausente del texto de Bourbaki.
— Pierre Cartier [64]
Aunque Bourbaki había decidido tratar las matemáticas desde sus fundamentos, la solución final del grupo en términos de teoría de conjuntos estuvo acompañada de varios problemas. Los miembros de Bourbaki eran matemáticos en lugar de lógicos , y por lo tanto el colectivo tenía un interés limitado en la lógica matemática . [93] Como dijeron los propios miembros de Bourbaki sobre el libro sobre la teoría de conjuntos, fue escrito "con dolor y sin placer, pero teníamos que hacerlo". [214] Dieudonné comentó personalmente en otro lugar que al noventa y cinco por ciento de los matemáticos "no les importa un comino" la lógica matemática. [215] En respuesta, el lógico Adrian Mathias criticó duramente el marco fundacional de Bourbaki, señalando que no tenía en cuenta los resultados de Gödel . [216] [217]
Bourbaki también influyó en la Nueva Matemática, una reforma fallida [218] en la educación matemática occidental en los niveles elemental y secundario, que enfatizaba la abstracción sobre los ejemplos concretos. A mediados del siglo XX, la reforma en la educación matemática básica fue impulsada por una necesidad percibida de crear una fuerza laboral alfabetizada en matemáticas para la economía moderna, y también para competir con la Unión Soviética . En Francia, esto condujo a la Comisión Lichnerowicz de 1967, encabezada por André Lichnerowicz e incluyendo algunos miembros (entonces actuales y anteriores) de Bourbaki. Aunque los miembros de Bourbaki habían reformado previamente (e individualmente) la instrucción de matemáticas en el nivel universitario, tuvieron una participación menos directa con la implementación de la Nueva Matemática en los niveles primario y secundario. Las reformas de la Nueva Matemática dieron como resultado material instructivo que era incomprensible tanto para los estudiantes como para los maestros, y que no satisfacía las necesidades cognitivas de los estudiantes más jóvenes. El intento de reforma fue duramente criticado por Dieudonné y también por el breve participante fundador de Bourbaki, Jean Leray. [219] Además de los matemáticos franceses, las reformas francesas también se enfrentaron a duras críticas del matemático nacido en la Unión Soviética Vladimir Arnold , quien argumentó que en su época como estudiante y profesor en Moscú, la enseñanza de las matemáticas estaba firmemente arraigada en el análisis y la geometría, y entrelazada con problemas de la mecánica clásica; por lo tanto, las reformas francesas no pueden ser un intento legítimo de emular la educación científica soviética. En 1997, mientras hablaba en una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas en París, comentó sobre Bourbaki diciendo: "los matemáticos genuinos no se unen, pero los débiles necesitan pandillas para sobrevivir" y sugirió que la unión de Bourbaki por la "superabstracción" era similar a los grupos de matemáticos del siglo XIX que se habían unido por el antisemitismo. [220]
Dieudonné lamentó más tarde que el éxito de Bourbaki hubiera contribuido a un esnobismo hacia las matemáticas puras en Francia, a expensas de las matemáticas aplicadas . En una entrevista, dijo: "Es posible decir que no hubo matemáticas aplicadas serias en Francia durante cuarenta años después de Poincaré. Incluso había un esnobismo hacia las matemáticas puras. Cuando uno veía a un estudiante talentoso, le decía: 'Deberías hacer matemáticas puras'. Por otro lado, uno aconsejaba a un estudiante mediocre que hiciera matemáticas aplicadas mientras pensaba: '¡Es todo lo que puede hacer! ... La verdad es en realidad lo contrario. No se puede hacer un buen trabajo en matemáticas aplicadas hasta que se pueda hacer un buen trabajo en matemáticas puras." [221] Claude Chevalley confirmó una cultura elitista dentro de Bourbaki, describiéndola como "una certeza absoluta de nuestra superioridad sobre otros matemáticos". [93] Alexander Grothendieck también confirmó una mentalidad elitista dentro de Bourbaki. [79] Algunos matemáticos, especialmente geómetras y matemáticos aplicados, encontraron que la influencia de Bourbaki era sofocante. [222] La decisión de Benoit Mandelbrot de emigrar a los Estados Unidos en 1958 estuvo motivada en parte por el deseo de escapar de la influencia de Bourbaki en Francia. [223]
Varias críticas relacionadas con los Elementos se han referido a su público objetivo y a la intención de su presentación. Los volúmenes de los Elementos comienzan con una nota al lector que dice que la serie "retoma las matemáticas desde el principio y da pruebas completas" y que "el método de exposición que hemos elegido es axiomático y abstracto, y normalmente procede de lo general a lo particular". [224] A pesar del lenguaje inicial, el público al que se dirige Bourbaki no son principiantes absolutos en matemáticas, sino más bien estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado y profesores que están familiarizados con los conceptos matemáticos. [225] Claude Chevalley dijo que los Elementos son "inútiles para un principiante", [226] y Pierre Cartier aclaró que "el malentendido fue que debería ser un libro de texto para todos. Ese fue el gran desastre". [64]
La obra se divide en dos mitades. Mientras que la primera mitad —las Structures fondamentales de l'analyse— trata temas establecidos, la segunda mitad trata de áreas de investigación modernas como el álgebra conmutativa y la teoría espectral. Esta división en la obra está relacionada con un cambio histórico en la intención del tratado. El contenido de los Elementos consiste en teoremas, demostraciones, ejercicios y comentarios relacionados, material común en los libros de texto de matemáticas. A pesar de esta presentación, la primera mitad no fue escrita como una investigación original sino más bien como una presentación reorganizada de conocimientos establecidos. En este sentido, la primera mitad de los Elementos se parecía más a una enciclopedia que a una serie de libros de texto. Como señaló Cartier, "el malentendido fue que mucha gente pensó que debía enseñarse tal como estaba escrito en los libros. Se puede pensar en los primeros libros de Bourbaki como una enciclopedia de matemáticas... Si lo consideras como un libro de texto, es un desastre". [64]
La presentación estricta y ordenada del material en la primera mitad de los Elementos tenía como objetivo formar la base para cualquier adición posterior. Sin embargo, los avances en la investigación matemática moderna han demostrado ser difíciles de adaptar en términos del esquema organizativo de Bourbaki. Esta dificultad se ha atribuido a la naturaleza fluida y dinámica de la investigación en curso que, al ser nueva, no está establecida ni se entiende completamente. [195] [227] El estilo de Bourbaki ha sido descrito como un paradigma científico particular que ha sido reemplazado en un cambio de paradigma . Por ejemplo, Ian Stewart citó el novedoso trabajo de Vaughan Jones en la teoría de nudos como un ejemplo de topología que se realizó sin dependencia del sistema de Bourbaki. [228] La influencia de Bourbaki ha disminuido con el tiempo; [228] este declive se ha atribuido en parte a la ausencia de ciertos temas modernos, como la teoría de categorías, del tratado. [81] [82]
Aunque múltiples críticas han señalado las deficiencias del proyecto del colectivo, una también ha señalado su fortaleza: Bourbaki fue una "víctima de su propio éxito" [195] en el sentido de que logró lo que se propuso, alcanzando su objetivo original de presentar un tratado completo sobre las matemáticas modernas. [229] [230] [231] Estos factores llevaron al biógrafo Maurice Mashaal a concluir su tratamiento de Bourbaki en los siguientes términos:
Una empresa de este tipo merece admiración por su amplitud, por su entusiasmo y su altruismo, por su marcado carácter colectivo. A pesar de algunos errores, Bourbaki contribuyó a aumentar el «honor del espíritu humano». En una época en la que el deporte y el dinero son grandes ídolos de la civilización, no se trata de una virtud menor.
—Maurice Mashaal [232]
Otros seudónimos matemáticos colectivos
{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)ABSTRACT. Bourbaki suggest that their definition of the number 1 runs to some tens of thousands of symbols. We show that that is a considerable under-estimate, the true number of symbols being that in the title, not counting 1 179 618 517 981 links between symbols that are needed to disambiguate the whole expression.