Línea real extendida proyectivamente

En el análisis real , la línea real extendida proyectivamente (también llamada compactificación de un punto de la línea real ), es la extensión del conjunto de los números reales , , por un punto denotado $\infty$ . ^[1] Es, por tanto, el conjunto con las operaciones aritméticas estándar extendidas siempre que sea posible, ^[1] y a veces se denota por ^[2] o El punto añadido se llama punto en el infinito , porque se considera como un vecino de ambos extremos de la línea real. Más precisamente, el punto en el infinito es el límite de cada secuencia de números reales cuyos valores absolutos son crecientes e ilimitados . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ $\mathbb {R} ^{*}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

La línea real extendida proyectivamente puede identificarse con una línea proyectiva real en la que a tres puntos se les han asignado los valores específicos $0$ , $1$ e $\infty$ . La línea de números reales extendida proyectivamente es distinta de la línea de números reales extendida afínmente , en la que $+\infty$ y $-\infty$ son distintos.

Dividiendo por cero

A diferencia de la mayoría de los modelos matemáticos de números, esta estructura permite la división por cero :

{\frac {a}{0}}=\infty

para a distinto de cero . En particular, $1 / 0 = \infty$ y $1 / \infty = 0$ , lo que hace que la función recíproca $1 /$ $x$ sea una función total en esta estructura. ^[1] Sin embargo, la estructura no es un cuerpo y ninguna de las operaciones aritméticas binarias es total; por ejemplo, $0 \cdot \infty$ no está definido, aunque el recíproco sea total. ^[1] Sin embargo, tiene interpretaciones útiles; por ejemplo, en geometría, la pendiente de una línea vertical es $\infty$ . ^[1]

Extensiones de la recta real

La línea real extendida proyectivamente extiende el campo de los números reales de la misma manera que la esfera de Riemann extiende el campo de los números complejos , añadiendo un único punto llamado convencionalmente $\infty$ .

Por el contrario, la línea de números reales extendida afínmente (también llamada compactificación de dos puntos de la línea real) distingue entre $+\infty$ y $-\infty$ .

Orden

La relación de orden no se puede extender a de una manera significativa. Dado un número $a$ $\neq \infty$ , no hay ningún argumento convincente para definir $a$ $> \infty$ o que $a$ $< \infty$ . Dado que $\infty$ no se puede comparar con ninguno de los otros elementos, no tiene sentido mantener esta relación en . ^[2] Sin embargo, el orden en se utiliza en definiciones en . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

Geometría

Fundamental para la idea de que $\infty$ es un punto que no se diferencia de ningún otro es la forma en que la línea proyectiva real es un espacio homogéneo , de hecho homeomorfo a un círculo. Por ejemplo, el grupo lineal general de matrices reales invertibles de 2 × 2 tiene una acción transitiva sobre él. La acción del grupo puede expresarse mediante transformaciones de Möbius (también llamadas transformaciones fraccionarias lineales), con el entendimiento de que cuando el denominador de la transformación fraccionaria lineal es $0$ , la imagen es $\infty$ .

El análisis detallado de la acción muestra que para tres puntos distintos P , Q y R , existe una transformación fraccionaria lineal que toma P como 0, Q como 1 y R como $\infty,$ es decir, el grupo de transformaciones fraccionarias lineales es triplemente transitivo en la línea proyectiva real. Esto no se puede extender a 4-tuplas de puntos, porque la razón cruzada es invariante.

La terminología línea proyectiva es apropiada, porque los puntos están en correspondencia uno a uno con subespacios lineales unidimensionales de . $\mathbb {R} ^{2}$

Operaciones aritméticas

Motivación para las operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas en este espacio son una extensión de las mismas operaciones en números reales. Una motivación para las nuevas definiciones son los límites de las funciones de números reales.

Operaciones aritméticas que están definidas

Además de las operaciones estándar en el subconjunto de , se definen las siguientes operaciones para , con las excepciones indicadas: ^[3]^[2] $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

Operaciones aritméticas que quedan sin definir

Las siguientes expresiones no pueden ser motivadas considerando límites de funciones reales, y ninguna definición de ellas permite mantener inalterada la formulación de las propiedades algebraicas estándar para todos los casos definidos. ^[a] En consecuencia, se dejan sin definir:

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

La función exponencial no se puede extender a . ^[2] $e^{x}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

Propiedades algebraicas

Las siguientes igualdades significan: o ambos lados no están definidos, o ambos lados están definidos e iguales. Esto es cierto para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

Lo siguiente es verdadero siempre que se definan las expresiones involucradas, para cualquier $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

En general, todas las leyes de la aritmética que son válidas para también son válidas para siempre que se definan todas las expresiones que aparecen. $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$

Intervalos y topología

El concepto de intervalo se puede extender a . Sin embargo, dado que no es un conjunto ordenado, el intervalo tiene un significado ligeramente diferente. Las definiciones de intervalos cerrados son las siguientes (se supone que ): ^[2]^[^{cita(s) adicional(es) necesaria(s)}^] ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

Con excepción de los casos en que los puntos finales son iguales, los intervalos abiertos y semiabiertos correspondientes se definen eliminando los puntos finales respectivos. Esta redefinición es útil en la aritmética de intervalos cuando se divide por un intervalo que contiene 0. ^[2]

${\widehat {\mathbb {R} }}$ y el conjunto vacío también son intervalos, como lo es excluir cualquier punto individual. ^[b] ${\widehat {\mathbb {R} }}$

Los intervalos abiertos como base definen una topología en . Son suficientes para una base los intervalos abiertos acotados en y los intervalos para todos los que ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ $a,b\in \mathbb {R}$ $a<b.$

Como se ha dicho, la topología es homeomorfa a un círculo. Por lo tanto, es metrizable y corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica ordinaria en este círculo (ya sea medida en línea recta o a lo largo del círculo). No existe ninguna métrica que sea una extensión de la métrica ordinaria en $\mathbb {R} .$

Aritmética de intervalos

La aritmética de intervalos se extiende a partir de . El resultado de una operación aritmética sobre intervalos es siempre un intervalo, excepto cuando los intervalos con una operación binaria contienen valores incompatibles que conducen a un resultado indefinido. ^[c] En particular, tenemos, para cada : ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $\mathbb {R}$ $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,

independientemente de si alguno de los intervalos incluye $0$ y $\infty$ .

Cálculo

Las herramientas del cálculo se pueden utilizar para analizar funciones de . Las definiciones están motivadas por la topología de este espacio. ${\widehat {\mathbb {R} }}$

Barrios

Sea y . $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$

$A$ es un vecindario de $x$ , si $A$ contiene un intervalo abierto $B$ que contiene $x$ .
$A$ es un vecindario del lado derecho de $x$ , si hay un número real $y$ tal que y $A$ contiene el intervalo semiabierto . $y\neq x$ $[x,y)$
$A$ es un vecindario del lado izquierdo de $x$ , si hay un número real $y$ tal que y $A$ contiene el intervalo semiabierto . $y\neq x$ $(y,x]$
$A$ es un vecindario perforado (resp. un vecindario perforado del lado derecho o del lado izquierdo) de $x$ , si y es un vecindario (resp. un vecindario del lado derecho o del lado izquierdo) de $x$ . $x\not \in A,$ $A\cup \{x\}$

Límites

Definiciones básicas de límites

Sea y . $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$

El límite de f ( x ) cuando $x$ tiende a p es L , denotado

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

si y sólo si para cada vecindad A de L , existe una vecindad perforada B de p , tal que implica . $x\in B$ $f(x)\in A$

El límite unilateral de f ( x ) cuando x se acerca a p desde la derecha (izquierda) es L , denotado

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),

si y solo si para cada vecindad A de L , existe una vecindad perforada B del lado derecho (del lado izquierdo) de p , tal que implica $x\in B$ $f(x)\in A.$

Se puede demostrar que si y sólo si tanto y . $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$

Comparación con límites en $\mathbb {R}$

Las definiciones dadas anteriormente pueden compararse con las definiciones habituales de límites de funciones reales. En las siguientes afirmaciones, el primer límite es el definido anteriormente y el segundo límite tiene el sentido habitual: $p,L\in \mathbb {R} ,$

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ es equivalente a $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

Definición ampliada de límites

Sea . Entonces p es un punto límite de A si y sólo si cada entorno de p incluye un punto tal que $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ $y\in A$ $y\neq p.$

Sea p un punto límite de A. El límite de f ( x ) cuando x tiende a p a través de A es L , si y sólo si para cada entorno B de L , existe un entorno perforado C de p , tal que implica $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $x\in A\cap C$ $f(x)\in B.$

Esto corresponde a la definición topológica regular de continuidad , aplicada a la topología del subespacio en y la restricción de f a $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ $A\cup \lbrace p\rbrace .$

Continuidad

La función

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

es continua en $p$ si y sólo si $f$ está definida en $p$ y

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

Si la función $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

es continua en $A$ si y sólo si, para cada , $f$ está definida en $p$ y el límite de cuando $x$ tiende a $p$ a través de $A$ es $p\in A$ $f(x)$ $f(p).$

Toda función racional $P (x)/ Q (x)$ , donde $P$ y $Q$ son polinomios , puede prolongarse, de manera única, a una función de a que sea continua en . En particular, este es el caso de las funciones polinómicas , que toman el valor en si no son constantes . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ $\infty$ $\infty ,$

Además, si la función tangente se extiende de modo que $\tan$

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

entonces es continua en pero no puede prolongarse más a una función que sea continua en $\tan$ $\mathbb {R} ,$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

Muchas funciones elementales que son continuas en no pueden prolongarse a funciones que sean continuas en Este es el caso, por ejemplo, de la función exponencial y de todas las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno es continua en pero no puede hacerse continua en Como se vio anteriormente, la función tangente puede prolongarse a una función que sea continua en pero esta función no puede hacerse continua en $\mathbb {R}$ ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ $\mathbb {R} ,$ $\infty .$ $\mathbb {R} ,$ $\infty .$

Muchas funciones discontinuas que se vuelven continuas cuando el codominio se extiende permanecen discontinuas si el codominio se extiende al sistema de números reales afínmente extendido. Este es el caso de la función Por otro lado, algunas funciones que son continuas en y discontinuas en se vuelven continuas si el dominio se extiende a Este es el caso del arcotangente . ${\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}.$ $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ $\mathbb {R}$ $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ ${\overline {\mathbb {R} }}.$

Como rango proyectivo

Cuando se considera la línea proyectiva real en el contexto del plano proyectivo real , las consecuencias del teorema de Desargues están implícitas. En particular, la construcción de la relación proyectiva armónica conjugada entre puntos es parte de la estructura de la línea proyectiva real. Por ejemplo, dado cualquier par de puntos, el punto en el infinito es el conjugado armónico proyectivo de su punto medio .

Como las proyectividades conservan la relación armónica, forman los automorfismos de la recta proyectiva real. Las proyectividades se describen algebraicamente como homografías , ya que los números reales forman un anillo , según la construcción general de una recta proyectiva sobre un anillo . En conjunto forman el grupo PGL(2, R ) .

Las proyectividades que son sus propias inversas se llaman involuciones . Una involución hiperbólica tiene dos puntos fijos . Dos de ellos corresponden a operaciones aritméticas elementales sobre la recta proyectiva real: negación y reciprocidad . En efecto, 0 e ∞ son fijos bajo la negación, mientras que 1 y −1 son fijos bajo la reciprocidad.

Véase también

Notas

^ Sin embargo, existe una extensión en la que todas las propiedades algebraicas, cuando se restringen a operaciones definidas en , se resuelven en las reglas estándar: véase Teoría de ruedas . ${\widehat {\mathbb {R} }}$
^ Si se requiere consistencia de complementación, de modo que y para todos (donde el intervalo en cada lado está definido), todos los intervalos excluyendo y pueden representarse naturalmente usando esta notación, siendo interpretados como , y los intervalos semiabiertos con puntos finales iguales, por ejemplo , permanecen indefinidos. $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ $\varnothing$ ${\widehat {\mathbb {R} }}$ $(a,a)$ ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ $(a,a]$
^ Por ejemplo, la relación de intervalos contiene $0$ en ambos intervalos, y como $0 / 0$ no está definido, el resultado de la división de estos intervalos no está definido. $[0,1]/[0,1]$

Referencias

^ abcde NBU, DDE (5 de noviembre de 2019). PG MTM 201 B1. Dirección de Educación a Distancia, Universidad de Bengala del Norte.
^ abcdef Weisstein, Eric W. "Números reales proyectivamente extendidos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de enero de 2023 .
^ Lee, Nam-Hoon (28 de abril de 2020). Geometría: de las isometrías a la relatividad especial. Springer Nature. ISBN 978-3-030-42101-4.