Teoría de la rueda

Álgebra donde la división siempre está definida

Diagrama de una rueda, como la línea proyectiva real con un punto en la nulidad (denotado por ⊥).

Una rueda es un tipo de álgebra (en el sentido de álgebra universal ) en la que siempre se define la división. En particular, la división por cero tiene sentido. Los números reales se pueden extender a una rueda, al igual que cualquier anillo conmutativo .

El término rueda está inspirado en la imagen topológica de la línea proyectiva real junto con un punto extra ⊥ ( elemento inferior ) tal que . ^[1] ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \bot =0/0}$

Una rueda puede considerarse como el equivalente de un anillo conmutativo (y semianillo ) donde la adición y la multiplicación no son un grupo sino respectivamente un monoide conmutativo y un monoide conmutativo con involución . ^[1]

Definición

Una rueda es una estructura algebraica , en la que ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$

• ${\displaystyle W}$es un conjunto,
• ${\displaystyle {}0}$y son elementos de ese conjunto, ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle +}$y son operaciones binarias , ${\displaystyle \cdot }$
• ${\displaystyle /}$es una operación unaria ,

y satisfaciendo las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle +}$y son cada uno conmutativo y asociativo , y tienen y como sus respectivas identidades . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \,0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle /}$es una involución , por ejemplo ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /}$es multiplicativo , por ejemplo ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Álgebra de ruedas

Las ruedas reemplazan la división habitual como una operación binaria por la multiplicación, con una operación unaria aplicada a un argumento similar (pero no idéntica) a la inversa multiplicativa , de modo que se convierte en una abreviatura de , pero ni ni en general, y modifica las reglas del álgebra de modo que ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ ${\displaystyle b^{-1}\cdot a}$

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$En el caso general
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$En el caso general, como no es lo mismo que el inverso multiplicativo de . ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x}$

Otras identidades que pueden derivarse son

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$

donde la negación está definida por y si hay un elemento tal que (así en el caso general ). ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -x=ax}$ ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1+a=0}$ ${\displaystyle x-x\neq 0}$

Sin embargo, para valores que satisfacen y , obtenemos lo habitual ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0x=0}$ ${\displaystyle 0/x=0}$

• ${\displaystyle x/x=1}$
• ${\displaystyle x-x=0}$

Si la negación se puede definir como se muestra a continuación, entonces el subconjunto es un anillo conmutativo y cada anillo conmutativo es un subconjunto de una rueda. Si es un elemento invertible del anillo conmutativo, entonces . Por lo tanto, siempre que tenga sentido, es igual a , pero este último siempre está definido, incluso cuando . ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=/x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle /x}$ ${\displaystyle x=0}$

Ejemplos

Rueda de fracciones

Sea un anillo conmutativo y sea un submonoide multiplicativo de . Defina la relación de congruencia en vía ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sim _{S}}$ ${\displaystyle A\times A}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}$significa que existen tales que . ${\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}$ ${\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}$

Definir la rueda de fracciones de con respecto a como el cociente (y denotando la clase de equivalencia que contiene como ) con las operaciones ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}$           (identidad aditiva)

${\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}$           (identidad multiplicativa)

${\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}$           (operación recíproca)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (operación de adición)

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}$           (operación de multiplicación)

Línea proyectiva y esfera de Riemann

El caso especial de lo anterior, que comienza con un cuerpo, produce una línea proyectiva extendida hasta una rueda mediante la unión de un elemento inferior indicado ⊥ , donde . La línea proyectiva es en sí misma una extensión del cuerpo original mediante un elemento , donde para cualquier elemento del cuerpo. Sin embargo, todavía no está definida en la línea proyectiva, pero está definida en su extensión hasta una rueda. ${\displaystyle 0/0=\bot }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z\neq 0}$ ${\displaystyle 0/0}$

Si empezamos con los números reales , la "línea" proyectiva correspondiente es geométricamente un círculo , y luego el punto extra da la forma que es el origen del término "rueda". O si empezamos con los números complejos , la "línea" proyectiva correspondiente es una esfera (la esfera de Riemann ), y luego el punto extra da una versión tridimensional de una rueda. ${\displaystyle 0/0}$

Véase también

• Yaya

Citas

1. Carlström 2004.

Referencias

• Setzer, Anton (1997), Ruedas (PDF)(un borrador)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Estructuras matemáticas en informática , 14 (1), Cambridge University Press : 143–184, doi :10.1017/S0960129503004110, S2CID  11706592(también disponible online aquí).
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 de abril de 2007). "Los números racionales como un tipo de datos abstracto". Revista de la ACM . 54 (2): 7. doi :10.1145/1219092.1219095. S2CID  207162259.
• Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "División por cero en Common Meadows". Software, servicios y sistemas: ensayos dedicados a Martin Wirsing con motivo de su retiro de la cátedra de programación e ingeniería de software . Apuntes de clase en informática. 8950. Springer International Publishing: 46–61. arXiv : 1406.6878 . doi :10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN . 978-3-319-15544-9.S2CID34509835  .​